2019 m. valstybinis matematikos egzaminas

2019 m. egzamino sprendimai ir atsakymai

Matematikos sprendimas 5WGZh

Apskritimo spindulio ilgis lygus 11cm. Taškas K nutolęs nuo apskritimo centro 7cm atstumu. Per šį tašką išvesta 18cm ilgio styga. Raskite atkarpų, į kurias taškas K dalija stygą AB, ilgius.

Sprendimas.

AB = 18; AC = 22.

Pagal Pitagoro reoremą, $CB$ = $\sqrt {AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt {22^{2}-18^{2}}$ = $\sqrt {484-324}$ = $\sqrt {160}$ .

Trikampiai ADO ir ABC yra panašus, kadangi abu statūs ir turi bendrą kampą. Panašumo koeficientas $\frac{AC}{AO}$ = $\frac{22}{11}$ = $2$ .

$OD$ = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{\sqrt {160}}{2}$ ir $AD$ = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$ .

Trikampis ODK status, pagal Pitagoro teoremą

$KD$ = $\sqrt {OK^{2}-OD^{2}}$ = $\sqrt {7^{2}-(\frac{\sqrt {160}}{2})^{2}}$ = $\sqrt {49-\frac{160}{4}}$ = $\sqrt {49-40}$ = $\sqrt {9}$ = $3$

AK = AD + KD = 9 + 3 = 12;

BK = 18 - 12 = 6.

Atsakymas: 12 ir 6