2020 m. valstybinis matematikos egzaminas

1 uždavinys

Sprendimas:

$25^{2020}$ = $(5^{2})^{2020}$ = $5^{4040}$

$\frac{5^{4040}}{5}$ = $5^{(4040-1)}$ = $5^{4039}$

Atsakymas: C:

...

2 uždavinys

Sprendimas:

Reikia išrinkti 3 savaitės dienas iš 5 galimų. Tvarka yra svarbi, todėl naudosim gretinius:

[f]A(3;5) = 5!/ (5 - 3)! = 5!/ 2! = 1* 2* 3* 4*...

3 uždavinys

Sprendimas: [f] x/ (x - 3) - (x - 1)/ (x + 3) = ( x* (x + 3) - (x - 1)* (x - 3))/ (x - 3)/ (x + 3) = ( ( x^2 + x* 3) - ( x^2 - 3* x - x + 3))/ (...

4 uždavinys

Sprendimas:

Iš viso išleista $a\cdot b+b\cdot a$ = $2\cdot a\cdot b$ eurų.

Iš viso nupirkta $a+b$ knygų.

Vidutinė knygos kaina $\frac{2\cdot a\cdot b}{a+b}$

Atsakymas: B

...

5 uždavinys

Sprendimas:

Trikampis AOB lygiakraštis (OA = OB = AB), todėl kampas ∠BAC = 60°

Atsakymas: C

...

6 uždavinys

Sprendimas:

Apibrėžimo sritis x priklauso (-∞; 4) U (4; +∞), todėl funkcija neapibrėžta taške x = 4. Vietoj x statysim 4.

Funkcija būna neapibrėžta, kai...

7 uždavinys

Sprendimas:

Ant funkcijos uždėtas modulis, todėl visos funkcijos dalys esančios žemiau x ašies atsispindės virš x ašies.

Atsakymas: B

...

8 uždavinys

Sprendimas:

Sinusas gali įgyti reikšmes nuo -1 iki 1.

$sin(2\cdot x)$ įgyja reikšmes nuo -1 iki 1.

$3\cdot sin(2\cdot x)$ įgyja reikšmes nuo -3 iki 3.

...

9 uždavinys

Sprendimas:

Sudėtinės funkcijos išvestinė

$(e^{x^{2}})'$ = $e^{x^{2}}\cdot (x^{2})'$ = $e^{x^{2}}\cdot 2\cdot x$ = $2\cdot x\cdot e^{x^{2}}$

Atsakymas: C

...

10 uždavinys

Sprendimas:

Keičiame pirmojo logaritmo pagrindą iš a į 2:

$log_{a}(8)$ = $\frac{log_{2}(8)}{log_{2}(a)}$ = $\frac{3}{log_{2}(a)}$

Sudauginus su antruoju logaritmu, gauname

...

11 uždavinys

Sprendimas:

Viso mokinių $8+11+6$ = $25$

Pagal vidurkio formulę

$\frac{8\cdot 1+11\cdot 2+6\cdot x}{25}$ = $2.4$

$\frac{30+6\cdot x}{25}$ = $2.4$

$30+6\cdot x$ = $2.4\cdot 25$ ...

12 uždavinys

Sprendimas:

Pagal sinusų teoremą

$\frac{2}{sin(30)}$ = $\frac{x}{sin(45)}$

$x$ = $\frac{2\cdot sin(45)}{sin(30)}$

$x$ = $\frac{2\cdot \sqrt {2}}{2\cdot (\frac{1}{2})}$

$x$ = $\frac{\sqrt {2}}{\frac{1}{2}}$ ...

13 uždavinys

Sprendimas:

$cos(100)^{2}$ = $1-sin(100)^{2}$ = $1-k^{2}$

Atsakymas: $1-k^{2}$

Sprendimas:

Redukuojame sin(360-a) = -sin(a):

$sin(360-100)$ = $-sin(100)$ = $-k$ ...

14 uždavinys

Sprendimas:

Priešingo įvykio tikimybė 1 - 0.75 = 0.25

Atsakymas: 0.25

Sprendimas:

Tikimybė, kad nesuskambės abu telefonai yra [f](1-0.8)(1-0.75) = 0.2*...

15 uždavinys

Sprendimas:

Grupavimo būdu suskaidome dauginamaisiais. Iš $a\cdot c+a\cdot d$ iškeliame a, iš $b\cdot d+b\cdot c$ iškeliame b.

Po to iškeliame skliaustus $(c+d)$ :

...

16 uždavinys

Sprendimas:

Sprendžiame pirmą rodiklinę lygtelę:

$2^{x}$ = $3$ . Logaritmuojame abi puses pagrindu 2:

$log_{2}(2^{x})$ = $log_{2}(3)$

$x$ = $log_{2}(3)$ .

...

17 uždavinys

Sprendimas:

Funkcija mažėja, kai jos išvestinė neigiama. Nubraižytas grafikas žemiau nulio, kai x ∈ (-6; -5) ir x ∈ (0; 5).

Atsakymas: x ∈ (-6; -5) ir x ∈ (0;...

18 uždavinys

Sprendimas:

4 treniruotės kainuos 15*4 = 60 Eur. (Iš viso išleista 60, lieka 190 Eur).

5 - oji treniruote kainuos 15*0.4 = 6 Eur. (Iš viso išleista 66,...

19 uždavinys

Sprendimas:

$log_{5}(x-7)$ = 0

$log_{5}(x-7)$ = $log_{5}(5^{0})$

$log_{5}(x-7)$ = $log_{5}(1)$

$x-7$ = $1$

$x$ = $8$

x = 8 patenka į apibrėžimo...

20 uždavinys

Sprendimas:

PELNAS = PAJAMOS - IŠLAIDOS.

Sumažinus kainą x eurų, apyrankės pardavimo kaina bus 38 - x.

Apyrankių bus parduota 10 + x.

PAJAMOS...

21 uždavinys

Sprendimas:

Pagrindas - lygiakraštis trikampis. Lygiakraščio trikampio plotas $S$ = $\frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$

$S$ = $\frac{6^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$ = $\frac{36\cdot \sqrt {3}}{4}$ = $9\cdot \sqrt {3}$ ...

22 uždavinys

Sprendimas:

Kiekvienas skaičius T_n - aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.

a₁ = 1, a_n=18.

a_n = n.

Aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos...

23 uždavinys

Sprendimas:

Iš taško E į tašką F keliausime per taškus A ir B:

$\vec{EF}$ = $\vec{EA}+\vec{AB}+\vec{BF}$

$\vec{EA}$ = $\frac{1}{3}\cdot \vec{b}$

$\vec{AB}$ = $\vec{a}$

$\vec{BF}$ = $-\frac{2}{3}\cdot \vec{b}$

$\vec{EF}$ = $\frac{1}{3}\cdot \vec{b}+\vec{a}-\frac{2}{3}\cdot \vec{b}$ = $\vec{a}-\frac{1}{3}\cdot \vec{b}$ ...

24 uždavinys

Sprendimas:

v - vaikinai, m - merginos.

Vaikinų 3 kartus daugiau, todėl

$v$ = $3\cdot m$ .

Merginų m,

vaikinų 3m,

Iš viso studentų 4m.

Renkant pirmą studentą...

25 uždavinys

Sprendimas:

Taško A koordinatės (a; a⁵).

Trikampio OAC plotas yra $\frac{1}{2}\cdot a\cdot a^{5}$ = $\frac{a^{6}}{2}$ .

Kreivinės trapecijos, kurią riboja funkcijos $y$ = $x^{5}$ ...

26 uždavinys

Sprendimas:

ΔABE = ΔACD, todėl atitinkami kampai lygūs: ∠DAC = ∠ABE = a.

Tada ∠BAF = 60° - a.

∠AFB = 180° - ∠ABE - ∠BAF = 180° - a - (60° - a) = 180° -...