22 uždavinys

Piramidės pagrindas yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindų ilgiai yra 6 ir 18. Piramidės tūris lygus 14. Į piramidę įbrėžtas kūgis (žr. pav.).

1. Apskaičiuokite piramidės ir kūgio pagrindų plotus. (3 taškai)

Sprendimas:

$$h = \sqrt {AB^{2}-AE^{2}} = \sqrt {(9+3)^{2}-6^{2}} = \sqrt {12^{2}-6^{2}} = \sqrt {144-36} = \sqrt {108} = 6\cdot \sqrt {3}$$

Apskritimo spindulys r = $$\frac{h}{2} = \frac{6\cdot \sqrt {3}}{2} = 3\cdot \sqrt {3}$$.

Trapecijos plotas $$S_{ABCD} = \frac{(a+b)\cdot h}{2} = \frac{(18+6)\cdot 6\cdot \sqrt {3}}{2} = 72\cdot \sqrt {3}$$

Skritulio plotas $$S_{SKRITULIO} = \pi\cdot r^{2} = \pi\cdot (3\cdot \sqrt {3})^{2} = 9\cdot 3\cdot \pi = 27\cdot \pi$$

Atsakymas: $$72\cdot \sqrt {3}$$ ir  $$27\cdot \pi$$

2. Apskaičiuokite įbrėžto kūgio tūrį.

Sprendimas:

Piramidės tūris 14.

$$V_{PIR} = \frac{1}{3}\cdot H\cdot S_{ABCD}$$

14  = 
 

1

/ 3

* H* 72* saknis(3)

14 =  

1

/ 3

* H* 72* saknis(3)$$14$$ = $$\frac{1}{3}\cdot H\cdot 72\cdot \sqrt {3}$$

 

14

/ 72

 =  

1

/ 3

* H* saknis(3)$$\frac{14}{72}$$ = $$\frac{1}{3}\cdot H\cdot \sqrt {3}$$

 

14

/ 72/ saknis(3)

 =  

1

/ 3

* H$$\frac{14}{72\cdot \sqrt {3}}$$ = $$\frac{1}{3}\cdot H$$

 

14

/ 72/ saknis(3)

 =  

H

/ 3

$$\frac{14}{72\cdot \sqrt {3}}$$ = $$\frac{H}{3}$$

 

3* 14

/ 72/ saknis(3)

 = H$$\frac{3\cdot 14}{72\cdot \sqrt {3}}$$ = $$H$$

H =  

3* 14

/ 72/ saknis(3)

$$H$$ = $$\frac{3\cdot 14}{72\cdot \sqrt {3}}$$

 

3* 14

/ 72/ saknis(3)

 = H$$\frac{3\cdot 14}{72\cdot \sqrt {3}}$$ = $$H$$

H =  

3* 14

/ 72/ saknis(3)

$$H$$ = $$\frac{3\cdot 14}{72\cdot \sqrt {3}}$$

H =  

42

/ 72/ saknis(3)

$$H$$ = $$\frac{42}{72\cdot \sqrt {3}}$$

H =  

7

/ 12/ saknis(3)

$$H$$ = $$\frac{7}{12\cdot \sqrt {3}}$$

H =  

7* saknis(3)

/ 12/ saknis(3)/ saknis(3)

$$H$$ = $$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{12\cdot \sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$

H =  

7* saknis(3)

/ 12/ 3

$$H$$ = $$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{12\cdot 3}$$

H =  

7* saknis(3)

/ 36

$$H$$ = $$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{36}$$

$$14$$  = $$\frac{1}{3}\cdot H\cdot 72\cdot \sqrt {3}$$

$$H$$  = $$\frac{3\cdot 14}{72\cdot \sqrt {3}}$$

$$H$$  = $$\frac{7}{12\cdot \sqrt {3}}$$

$$H$$  = $$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{36}$$

14  =  1/3*H*72*saknis(3)

H  =  *3*14/72/saknis(3)

H  =  7/12/saknis(3)

H  =  7*saknis(3)/36

$$V_{KUGIO} = \frac{1}{3}\cdot H\cdot S_{SKRITULIO}$$

 

1

/ 3

* 

7* saknis(3)

/ 36

* 27* π  = 

 

1

/ 3

* 

7* saknis(3)

/ 36

* 27* π = $$\frac{1}{3}\cdot \frac{7\cdot \sqrt {3}}{36}\cdot 27\cdot \pi$$ = 

 

7* saknis(3)

/ 108

* 27* π = $$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{108}\cdot 27\cdot \pi$$ = 

 

7* saknis(3)

/ 4

* π$$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{4}\cdot \pi$$

Atsakymas: $$\frac{7\cdot \sqrt {3}}{4}\cdot \pi$$