22 uždavinys

Lygiakraščio trikampio ABC kraštinės ilgis lygus 10. Kraštinėse BC, AC ir AB pasirinkti taškai K, L ir M taip, kad trikampis KLM yra lygiakraštis.

1. Pagrįskite, kad ∠AML = ∠CLK.

Sprendimas:

Trikampio △ALM kampų suma 180°, todėl ∠AML = 180 - 60 - ∠ALM = 120 - ∠ALM.

Kampas ∠ALB ištiestinis, lygus 180°, todėl ∠CLK = 180 - 60 - ∠ALM = 120 - ∠ALM.

Taigi, ∠AML = ∠CLK

2. Pagrįskite, kad trikampiai AML ir CLK yra lygūs.

Sprendimas:

Pirmoje dalyje buvo parodyta, kad ∠AML = ∠CLK. Kadangi trikampis △ABC lygiakraštis, tai ∠A = ∠C = 60°.

Todėl ir kampai ∠ALM bei ∠LKC yra lygūs.

Kraštinės LM ir LK yra lygios, trikampių △AML ir △CLK kampai prie kraštinių LM ir LK taip pat yra lygūs, todėl ir trikampiai yra lygūs (pagal kraštinę ir prie jos esančius kampus).

3. Pažymėję atkarpos AM ilgį x, o atkarpos LM ilgį y, pagrįskite, kad $$y = \sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}$$, 0 ≤ x ≤ 10.

Sprendimas:

Antroje dalyje įrodėme, kad △AML = △CLK, todėl LC = AM. AL = 10 - LC = 10 - x. Pagal kosinusų teoremą $$LM = \sqrt {AL^{2}+AM^{2}-2\cdot AL\cdot AM\cdot cos(60)}$$. Į šią lygtį įstatome AM = x, LC = 10 - x, LM = y

y  = 
saknis( x^²+ (10-x)^²- 2* x* (10-x)* cos(60))

y = saknis( x^²+ (10-x)^²- 2* x* (10-x)* cos(60))$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+(10-x)^{2}-2\cdot x\cdot (10-x)\cdot cos(60)}$$

Paaiškinimas:

y = saknis( x^²+ 10^²- 2* 10* x+ x^²- 2* x* (10-x)* cos(60))$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+10^{2}-2\cdot 10\cdot x+x^{2}-2\cdot x\cdot (10-x)\cdot cos(60)}$$

y = saknis( x^²+ 10^²- 20* x+ x^²- 2* x* (10-x)* cos(60))$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+10^{2}-20\cdot x+x^{2}-2\cdot x\cdot (10-x)\cdot cos(60)}$$

y = saknis( x^²+ 10^²- 20* x+ x^²- 

2* x* (10-x)* 1

/ 2

)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+10^{2}-20\cdot x+x^{2}-\frac{2\cdot x\cdot (10-x)\cdot 1}{2}}$$

y = saknis( x^²+ 10^²- 20* x+ x^²- (10-x)* x)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+10^{2}-20\cdot x+x^{2}-(10-x)\cdot x}$$

y = saknis( x^²+ 10^²- 20* x+ x^²- 10* x+ x* x)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+10^{2}-20\cdot x+x^{2}-10\cdot x+x\cdot x}$$

y = saknis( x^²+ 10^²- 20* x+ x^²- 10* x+ x^²)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+10^{2}-20\cdot x+x^{2}-10\cdot x+x^{2}}$$

y = saknis( x^²+ x^²+ 10^²- 20* x- 10* x+ x^²)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+x^{2}+10^{2}-20\cdot x-10\cdot x+x^{2}}$$

y = saknis( x^²+ x^²+ x^²+ 10^²- 20* x- 10* x)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+x^{2}+x^{2}+10^{2}-20\cdot x-10\cdot x}$$

y = saknis( x^²+ x^²+ x^²- 20* x- 10* x+ 10^²)$$y$$ = $$\sqrt {x^{2}+x^{2}+x^{2}-20\cdot x-10\cdot x+10^{2}}$$

y = saknis( 2* x^²+ x^²- 20* x- 10* x+ 10^²)$$y$$ = $$\sqrt {2\cdot x^{2}+x^{2}-20\cdot x-10\cdot x+10^{2}}$$

y = saknis( 3* x^²- 20* x- 10* x+ 10^²)$$y$$ = $$\sqrt {3\cdot x^{2}-20\cdot x-10\cdot x+10^{2}}$$

y = saknis( 3* x^²- 30* x+ 10^²)$$y$$ = $$\sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+10^{2}}$$

y = saknis( 3* x^²- 30* x+100)$$y$$ = $$\sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}$$

4. Nustatykite, su kuria x reikšme LM ilgis yra mažiausias.

Norint rasti mažiausią y reikšmę, y išvestinę prilyginame nuliui:

 (saknis( 3* x^²- 30* x+100))′  = 
0

 (saknis( 3* x^²- 30* x+100))′ = 0$$(\sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100})'$$ = $$0$$

Paaiškinimas:

 

1

/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)

* ( 3* x^²- 30* x+100)′ = 0$$\frac{1}{2\cdot \sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}}\cdot (3\cdot x^{2}-30\cdot x+100)'$$ = $$0$$

Paaiškinimas:

 

1

/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)

* ( 6* x-30) = 0$$\frac{1}{2\cdot \sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}}\cdot (6\cdot x-30)$$ = $$0$$

 

( 6* x-30)* 1

/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)

 = 0$$\frac{(6\cdot x-30)\cdot 1}{2\cdot \sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}}$$ = $$0$$

Paaiškinimas:

 

2* ( 3* x-15)* 1

/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)

 = 0$$\frac{2\cdot (3\cdot x-15)\cdot 1}{2\cdot \sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}}$$ = $$0$$

 

( 3* x-15)

/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)

 = 0$$\frac{3\cdot x-15}{\sqrt {3\cdot x^{2}-30\cdot x+100}}$$ = $$0$$

 3* x-15 = 0$$3\cdot x-15$$ = $$0$$

 3* x = 0+15$$3\cdot x$$ = $$0+15$$

 3* x = 15$$3\cdot x$$ = $$15$$

x =  

15

/ 3

$$x$$ = $$\frac{15}{3}$$

x = 5$$x$$ = $$5$$

Išvestinė lygi nuliui, kai x = 5.

Kai x < 5, išvestinė neigiama, kai x > 5 išvestinė teigiama, taigi, LM ilgis yra mažiausias, kai x = 5

Atsakymas: x = 5