20 uždavinys

Duotas reiškinys log_0,2(2x + 3) + log_0,2(4x - 5).

1. Parodykite, kad šio reiškinio apibrėžimo sritis yra intervalas (1,25; + ∞).

 Sprendimas:

Logaritmuojami reiškiniai turi būti teigiami:

2x + 3 > 0

4x - 5 > 0 

 2* x+3  > 
0

 2* x+3 > 0$$2\cdot x+3$$ > $$0$$

 2* x > 0-3$$2\cdot x$$ > $$0-3$$

 2* x > -3$$2\cdot x$$ > $$-3$$

x > - 

3

/ 2

$$x$$ > $$-\frac{3}{2}$$

x > -1.5$$x$$ > $$-1.5$$

 4* x-5  > 
0

 4* x-5 > 0$$4\cdot x-5$$ > $$0$$

 4* x > 5+0$$4\cdot x$$ > $$5+0$$

 4* x > 5$$4\cdot x$$ > $$5$$

x >  

5

/ 4

$$x$$ > $$\frac{5}{4}$$

x > 1.25$$x$$ > $$1.25$$

Sankirta:

2. Išspręskite nelygybę log_0,2(2x + 3) + log_0,2(4x - 5) ≥ log_0,213.

Sprendimas:

log(_0.2, 2* x+3)+log(_0.2, 4* x-5)  ≥ 
log(_0.2,13)

log(_0.2, 2* x+3)+log(_0.2, 4* x-5) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}(2\cdot x+3)+log_{0.2}(4\cdot x-5)$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

Paaiškinimas:

log(_0.2, ( 2* x+3)* ( 4* x-5)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((2\cdot x+3)\cdot (4\cdot x-5))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

log(_0.2,( 2* x* 4* x- 2* x* 5+ 3* 4* x- 3* 5)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((2\cdot x\cdot 4\cdot x-2\cdot x\cdot 5+3\cdot 4\cdot x-3\cdot 5))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

log(_0.2,( 8* x^²- 2* x* 5+ 3* 4* x- 3* 5)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((8\cdot x^{2}-2\cdot x\cdot 5+3\cdot 4\cdot x-3\cdot 5))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

log(_0.2,( 8* x^²- 10* x+ 3* 4* x- 3* 5)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((8\cdot x^{2}-10\cdot x+3\cdot 4\cdot x-3\cdot 5))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

log(_0.2,( 8* x^²- 10* x+ 12* x- 3* 5)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((8\cdot x^{2}-10\cdot x+12\cdot x-3\cdot 5))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

log(_0.2,( 8* x^²- 10* x+ 12* x-15)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((8\cdot x^{2}-10\cdot x+12\cdot x-15))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

log(_0.2,( 8* x^²+ 2* x-15)) ≥ log(_0.2,13)$$log_{0.2}((8\cdot x^{2}+2\cdot x-15))$$ ≥ $$log_{0.2}(13)$$

Paaiškinimas:

( 8* x^²+ 2* x-15) ≤ 13$$(8\cdot x^{2}+2\cdot x-15)$$ ≤ $$13$$

 8* x^²+ 2* x-15 ≤ 13$$8\cdot x^{2}+2\cdot x-15$$ ≤ $$13$$

 8* x^²+ 2* x-15-13 ≤ 0$$8\cdot x^{2}+2\cdot x-15-13$$ ≤ $$0$$

 8* x^²+ 2* x-28 ≤ 0$$8\cdot x^{2}+2\cdot x-28$$ ≤ $$0$$

Paaiškinimas:

 2* ( 4* x^²+x-14) ≤ 0$$2\cdot (4\cdot x^{2}+x-14)$$ ≤ $$0$$

( 4* x^²+x-14) ≤ 0$$(4\cdot x^{2}+x-14)$$ ≤ $$0$$

 4* x^²+x-14 ≤ 0$$4\cdot x^{2}+x-14$$ ≤ $$0$$

 4* x^²+x-14  ≤ 
0

 4* x^²+x-14 ≤ 0$$4\cdot x^{2}+x-14$$ ≤ $$0$$

Paaiškinimas:

 4* (x- 

7

/ 4

)* (x+2) ≤ 0$$4\cdot (x-\frac{7}{4})\cdot (x+2)$$ ≤ $$0$$

Parabolė $$4\cdot x^{2}+x-14$$ kertą x ašį taškuose x = -2 ir x = $$\frac{7}{4} = 1.75$$.

Nelygybės $$4\cdot x^{2}+x-14$$ ≤ 0 sprendiniai yra intervalas [-2; 1,75]

Pirmoje dalyje nustatyta apibrėžimo sritis yra intervalas  (1,25; + ∞)

Sankirta:

Atsakymas: x priklauso (1.25; 1,75]