25 uždavinys

1. Nustatykite funkcijos f(x) apibrėžimo sritį

Sprendimas.

 x^²- 7* x+10  > 
0

 x^²- 7* x+10 > 0$$x^{2}-7\cdot x+10$$ > $$0$$

$${\normalsize x^{2}-7\cdot x+10}$$ = $${\normalsize (x-5)\cdot (x-2)}$$

Paaiškinimas:

Kvadratinis trinaris $${\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}$$, kur
a = 1, b = -7, c = 10.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-40}$$ = 9.

x1 = $${\normalsize \frac{7+\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2}}$$ = 5
x2 = $${\normalsize \frac{7-\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2}}$$ = 2

 (x-5)* (x-2) > 0$$(x-5)\cdot (x-2)$$ > $$0$$

Parabolė kerta x ašį taškuose x = 2 ir x = 5. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl apibrėžimo sritis yra (-∞; 2) U (; 5; ∞)

Atsakymas: (-∞; 2) U (; 5; ∞)

2. Raskite visas x reikšmes, su kuriomis funkcijos f(x) reikšmės yra ne mažesnės už  –2.

Sprendimas.

log(_1/2, x^²- 7* x+10)  ≥ 
-2

log(_1/2, x^²- 7* x+10) ≥ -2$$log_{1/2}(x^{2}-7\cdot x+10)$$ ≥ $$-2$$

Pasikeičia nelygybės ženklas, nes logartimo pagrindas $${\normalsize \frac{1}{2}}$$ < 1

 x^²- 7* x+10 ≤  ( 

1

/ 2

)^^(-2)$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$(\frac{1}{2})^{(-2)}$$

 x^²- 7* x+10 ≤  ( 

1

/ 2

)^^(-2)$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$(\frac{1}{2})^{(-2)}$$

$${\normalsize (\frac{1}{2})^{(-2)}}$$ = $${\normalsize \frac{2^{2}}{1^{2}}}$$

 x^²- 7* x+10 ≤  

2^2

/ 1^2

$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$\frac{2^{2}}{1^{2}}$$

$${\normalsize \frac{2^{2}}{1^{2}}}$$ = $${\normalsize 4}$$

 x^²- 7* x+10 ≤ 4$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$4$$

 x^²- 7* x+10-4 ≤ 0$$x^{2}-7\cdot x+10-4$$ ≤ $$0$$

$${\normalsize 10-4}$$ = $${\normalsize 6}$$

 x^²- 7* x+6 ≤ 0$$x^{2}-7\cdot x+6$$ ≤ $$0$$

$${\normalsize x^{2}-7\cdot x+6}$$ = $${\normalsize (x-6)\cdot (x-1)}$$

Paaiškinimas:

Kvadratinis trinaris $${\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}$$, kur
a = 1, b = -7, c = 6.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-24}$$ = 25.

x1 = $${\normalsize \frac{7+\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2}}$$ = 6
x2 = $${\normalsize \frac{7-\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7-5}{2} = \frac{2}{2}}$$ = 1

 (x-6)* (x-1) ≤ 0$$(x-6)\cdot (x-1)$$ ≤ $$0$$

$$log_{1/2}(x^{2}-7\cdot x+10)$$  ≥ $$-2$$

$$x^{2}-7\cdot x+10$$  ≤ $$(\frac{1}{2})^{(-2)}$$

$$x^{2}-7\cdot x+10$$  ≤ $$4$$

$$x^{2}-7\cdot x+10-4$$  ≤ $$0$$

$$x^{2}-7\cdot x+6$$  ≤ $$0$$

$$(x-6)\cdot (x-1)$$  ≤ $$0$$

log(1/2,x^2-7*x+10)  ≥  -2

x^2-7*x+10  ≤  (1/2)^(-2)

x^2-7*x+10  ≤  4

x^2-7*x+10-4  ≤  0

x^2-7*x+6  ≤  0

(x-6)*(x-1)  ≤  0

Parabolė kerta x ašį taškuose x = 1 ir x = 6. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl x priklauso [1; 6]

Atsižvelgus į apibrėžimo sritį gauname, kad x priklauso [1; 2) U (5; 6]

Atsakymas:  x priklauso [1; 2) U (5; 6]