25 uždavinys

24 uždavinys26 uždavinys

1. Nustatykite funkcijos f(x) apibrėžimo sritį

Sprendimas.

 x^2- 7* x+10  > 
0
 x^2- 7* x+10 > 0x27x+10x^{2}-7\cdot x+10 > 00
x27x+10{\normalsize x^{2}-7\cdot x+10} = (x5)(x2){\normalsize (x-5)\cdot (x-2)}
Paaiškinimas:
Kvadratinis trinaris ax2+bx+c{\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}, kur
a = 1, b = -7, c = 10.
Diskriminantas D=b24ac=4940{\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-40} = 9.
User posted image
x1 = 7+921=7+32=102{\normalsize \frac{7+\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2}} = 5
x2 = 7921=732=42{\normalsize \frac{7-\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2}} = 2
 (x-5)* (x-2) > 0(x5)(x2)(x-5)\cdot (x-2) > 00

Parabolė kerta x ašį taškuose x = 2 ir x = 5. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl apibrėžimo sritis yra (-∞; 2) U (; 5; ∞)

Atsakymas: (-∞; 2) U (; 5; ∞)

2. Raskite visas x reikšmes, su kuriomis funkcijos f(x) reikšmės yra ne mažesnės už  –2.

Sprendimas.

log(1/2, x^2- 7* x+10)  ≥ 
-2
log(1/2, x^2- 7* x+10) ≥ -2log1/2(x27x+10)log_{1/2}(x^{2}-7\cdot x+10) ≥ 2-2
Pasikeičia nelygybės ženklas, nes logartimo pagrindas 12{\normalsize \frac{1}{2}} < 1
 x^2- 7* x+10 ≤  ( 
 1
/ 2
)
^(-2)
x27x+10x^{2}-7\cdot x+10 ≤ (12)(2)(\frac{1}{2})^{(-2)}
 x^2- 7* x+10 ≤  ( 
 1
/ 2
)
^(-2)
x27x+10x^{2}-7\cdot x+10 ≤ (12)(2)(\frac{1}{2})^{(-2)}
(12)(2){\normalsize (\frac{1}{2})^{(-2)}} = 2212{\normalsize \frac{2^{2}}{1^{2}}}
 x^2- 7* x+10 ≤  
 2^2
/ 1^2
x27x+10x^{2}-7\cdot x+10 ≤ 2212\frac{2^{2}}{1^{2}}
2212{\normalsize \frac{2^{2}}{1^{2}}} = 4{\normalsize 4}
 x^2- 7* x+10 ≤ 4x27x+10x^{2}-7\cdot x+10 ≤ 44
 x^2- 7* x+10-4 ≤ 0x27x+104x^{2}-7\cdot x+10-4 ≤ 00
104{\normalsize 10-4} = 6{\normalsize 6}
 x^2- 7* x+6 ≤ 0x27x+6x^{2}-7\cdot x+6 ≤ 00
x27x+6{\normalsize x^{2}-7\cdot x+6} = (x6)(x1){\normalsize (x-6)\cdot (x-1)}
Paaiškinimas:
Kvadratinis trinaris ax2+bx+c{\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}, kur
a = 1, b = -7, c = 6.
Diskriminantas D=b24ac=4924{\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-24} = 25.
User posted image
x1 = 7+2521=7+52=122{\normalsize \frac{7+\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2}} = 6
x2 = 72521=752=22{\normalsize \frac{7-\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7-5}{2} = \frac{2}{2}} = 1
 (x-6)* (x-1) ≤ 0(x6)(x1)(x-6)\cdot (x-1) ≤ 00
log1/2(x27x+10)log_{1/2}(x^{2}-7\cdot x+10)  ≥ 2-2
x27x+10x^{2}-7\cdot x+10  ≤ (12)(2)(\frac{1}{2})^{(-2)}
x27x+10x^{2}-7\cdot x+10  ≤ 44
x27x+104x^{2}-7\cdot x+10-4  ≤ 00
x27x+6x^{2}-7\cdot x+6  ≤ 00
(x6)(x1)(x-6)\cdot (x-1)  ≤ 00

Parabolė kerta x ašį taškuose x = 1 ir x = 6. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl x priklauso [1; 6]

Atsižvelgus į apibrėžimo sritį gauname, kad x priklauso [1; 2) U (5; 6]

Atsakymas:  x priklauso [1; 2) U (5; 6]

24 uždavinys26 uždavinys