26 uždavinys

25 uždavinys27 uždavinys

Paveiksle pavaizduoti funkcijų f1(x) = x^3+1 ir f2(x) =saknis(3;x)+1 grafikai intervale x >= 0.

1. Duoti  grafikai  kertasi.  Įrodykite,  kad  susikirtimo  taško  A  (žr.  pav.) koordinatės yra (1; 2).

Sprendimas.

Apskaičiuojam abiejų funkcijų reikšmes taške x = 1:

f1(1) = 1^3+1 = 2.

f2(1) =saknis(3;1)+1 = 1+1 = 2 .

Abiejų funkcijų reikšmės taške x = 1 yra 2. Taigi grafikai kertasi taške (1; 2).

2. Apskaičiuokite plotą figūros, kuri yra apribota paveiksle pavaizduotais grafikais

Sprendimas.

Norint rasti plotą, apribotą dviejų funkcijų grafikais, reikia apskaičiuoti aukštesnės ir žemesnės funkcijos integralų skirtumą tame intervale (0; 1). 

∫(0;1;saknis(3,x)+1)-∫(0;1; x^3+1)  = 
∫(0;1;saknis(3,x)+1)-∫(0;1; x^3+1) = ##1@@∫(0;1;saknis(3,x)+1)#@1@#-∫(0;1;x^3+1) = 
∫(0;1;saknis(3;x)+1) = (3/4*saknis(3;x^4)+x){\LARGE |}_{0}^{1}
Paaiškinimas:
Šaknies integralas, kur n = 3, m = 1
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 1
|(0;1; 
 3
/ 4
* saknis(3, x^4)+x)-∫(0;1; x^3+1) = |(0;1;3/4*saknis(3,x^4)+x)-##2@@∫(0;1;x^3+1)#@2@# = 
∫(0;1;x^3+1) = (1/4*x^4+x){\LARGE |}_{0}^{1}
Paaiškinimas:
Laipsnio integralas, kur n = 3
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 1
|(0;1; 
 3
/ 4
* saknis(3, x^4)+x)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = ##3@@|(0;1;3/4*saknis(3,x^4)+x)#@3@#-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
(3/4*saknis(3;x^4)+x){\LARGE |}_{0}^{1} = ((3/4*saknis(3;1^4)+1)-(3/4*saknis(3;0^4)+0))
Paaiškinimas:
(F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a), čia F(x) = 3/4*saknis(3,x^4)+x a = 0, b = 1
( 
 3
/ 4
* saknis(3, 1^4)+1)-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = (3/4*##4@@saknis(3,1^4)#@4@#+1)-(3/4*saknis(3,0^4)+0)-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
saknis(3;1^4) = 1
( 
 3
/ 4
* 1+1)-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = (3/4##5@@*#@5@#1+1)-(3/4*saknis(3,0^4)+0)-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
3/4*1 = 3/4
( 
 3
/ 4
+1)-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = ##7@@(#@7@#3/4+1##8@@)#@8@#-(3/4*saknis(3,0^4)+0)-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
(3/4+1) = 3/4+1
 
 3
/ 4
+1-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = 3/4+1-(3/4*##9@@saknis(3,0^4)#@9@#+0)-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
saknis(3;0^4) = 0
 
 3
/ 4
+1-( 
 3
/ 4
* 0+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = 3/4+1-(3/4##10@@*#@10@#0+0)-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
3/4*0 = 0
 
 3
/ 4
+1-(0+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = 3/4+1-(0##12@@+#@12@#0)-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
 
 3
/ 4
+1-(0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = 3/4+1-##14@@(#@14@#0##15@@)#@15@#-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
-(0) = 0
 
 3
/ 4
+1-0-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = 3/4+1##16@@-#@16@#0-|(0;1;1/4*x^4+x) = 
 
 3
/ 4
+1-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4+x) = 3/4+1-##18@@|(0;1;1/4*x^4+x)#@18@# = 
(1/4*x^4+x){\LARGE |}_{0}^{1} = ((1/4*1^4+1)-(1/4*0^4+0))
Paaiškinimas:
(F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a), čia F(x) = 1/4*x^4+x a = 0, b = 1
 
 3
/ 4
+1-(( 
 1
/ 4
* 1^4+1)-( 
 1
/ 4
* 0^4+0)) = 3/4+1-##19@@(#@19@#(1/4*1^4+1)-(1/4*0^4+0)##20@@)#@20@# = 
-((1/4*1^4+1)-(1/4*0^4+0)) = -(1/4*1^4+1)+(1/4*0^4+0)
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
* 1^4+1)+( 
 1
/ 4
* 0^4+0) = 3/4+1-(##21@@1/4*1^4#@21@#+1)+(1/4*0^4+0) = 
1/4*1^4 = 1/4
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1)+( 
 1
/ 4
* 0^4+0) = 3/4+1-(1/4+1)+(##22@@1/4*0^4#@22@#+0) = 
1/4*0^4 = 0
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1)+(0+0) = 3/4+1-(1/4+1)+##23@@(#@23@#0+0##24@@)#@24@# = 
(0+0) = 0+0
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1)+0+0 = 3/4+1-(1/4+1)+0##25@@+#@25@#0 = 
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1)+0 = 3/4+1-(1/4+1)+0 = 
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1) = 3/4+1-##28@@(#@28@#1/4+1##29@@)#@29@# = 
-(1/4+1) = -1/4-1
 
 3
/ 4
+1- 
 1
/ 4
-1 = 3/4##17@@+1#@17@###31@@-1/4#@31@#-1 = 
 
 3
/ 4
- 
 1
/ 4
+1-1 = 3/4-1/4+1##33@@-#@33@#1 = 
1-1 = 0
 
 3
/ 4
- 
 1
/ 4
+0 = 3/4-1/4##34@@+#@34@#0 = 
 
 3
/ 4
- 
 1
/ 4
 = 3/4##35@@-#@35@#1/4 = 
3/4-1/4 = 1/2
 
 1
/ 2
1/2
##1@@∫(0;1;saknis(3,x)+1)#@1@#-∫(0;1;x^3+1)  = 
##3@@|(0;1;3/4*saknis(3,x^4)+x)#@3@#-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 
(3/4*##4@@saknis(3,1^4)#@4@#+1)-(3/4*saknis(3,0^4)+0)-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 
3/4+1-(3/4*##9@@saknis(3,0^4)#@9@#+0)-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 
3/4+1-##18@@|(0;1;1/4*x^4+x)#@18@#  = 
3/4+1-##19@@(#@19@#(1/4*1^4+1)-(1/4*0^4+0)##20@@)#@20@#  = 
3/4+1-(##21@@1/4*1^4#@21@#+1)+(1/4*0^4+0)  = 
3/4+1-(1/4+1)+##23@@(#@23@#0+0##24@@)#@24@#  = 
3/4+1-##28@@(#@28@#1/4+1##29@@)#@29@#  = 
3/4##17@@+1#@17@###31@@-1/4#@31@#-1  = 
3/4##35@@-#@35@#1/4  = 
1/2

Atsakymas: 1/2

3. Per f2(x) =saknis(3;x)+1 grafiko  tašką  A  nubrėžta  liestinė. Raskite  kampo,  kurį  liestinė  sudaro  su teigiamąja ašies Ox kryptimi, tangentą

Sprendimas.

Norint rasti liestinės tangentą, reikia rasti  f2(x) išvestinę taške x = 1

 (saknis(3,x)+1)′  = 
 (saknis(3,x)+1)′ = (saknis(3,x)+1)##1@@′#@1@# = 
(saknis(3;x)+1)′ = 1/3/saknis(3;x^2)
Paaiškinimas:
n - o laipsnio šaknies išvestinė, čia n = 3
Konstantos išvestinė yra 0
 
 1
/ 3/ saknis(3, x^2)
 = 1/3/saknis(3,##2@@x#@2@#^2) = 
Paaiškinimas:
Keitimas x = 1.
 
 1
/ 3/ saknis(3, 1^2)
 = 1/3/##4@@saknis(3,##3@@1^2#@3@#)#@4@# = 
1/(saknis(3;1^2)) = 1/1
 
 1
/ 3/ 1
 = 1/3##5@@/#@5@#1 = 
3*1 = 3
 
 1
/ 3
1/3
(saknis(3,x)+1)##1@@′#@1@#  = 
1/3/saknis(3,##2@@x#@2@#^2)  = 
1/3/##4@@saknis(3,##3@@1^2#@3@#)#@4@#  = 
1/3

Atsakymas: 1/3

25 uždavinys27 uždavinys
Visos teisės saugomos ©