26 uždavinys

Paveiksle pavaizduoti funkcijų f₁(x) = $$x^{3}+1$$ ir f₂(x) =$$\sqrt[3]{x}+1$$ grafikai intervale x >= 0.

1. Duoti  grafikai  kertasi.  Įrodykite,  kad  susikirtimo  taško  A  (žr.  pav.) koordinatės yra (1; 2).

Sprendimas.

Apskaičiuojam abiejų funkcijų reikšmes taške x = 1:

f₁(1) = $$1^{3}+1 = 2$$.

f₂(1) =$$\sqrt[3]{1}+1 = 1+1 = 2$$ .

Abiejų funkcijų reikšmės taške x = 1 yra 2. Taigi grafikai kertasi taške (1; 2).

2. Apskaičiuokite plotą figūros, kuri yra apribota paveiksle pavaizduotais grafikais

Sprendimas.

Norint rasti plotą, apribotą dviejų funkcijų grafikais, reikia apskaičiuoti aukštesnės ir žemesnės funkcijos integralų skirtumą tame intervale (0; 1). 

∫(_0;^1;saknis(3,x)+1)-∫(_0;^1; x^³+1)  = 

∫(_0;^1;saknis(3,x)+1)-∫(_0;^1; x^³+1) = $$\int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x}+1)-\int_{0}^{1} (x^{3}+1)$$ = 

$${\normalsize \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x}+1)}$$ = $${\normalsize (\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{x^{4}}+x){\LARGE |}_{0}^{1}}$$

Paaiškinimas:

Šaknies integralas, kur n = 3, m = 1
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 1

|(_0;^1; 

3

/ 4

* saknis(3, x^⁴)+x)-∫(_0;^1; x^³+1) = $$(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{x^{4}}+x){\LARGE |}_{0}^{1}-\int_{0}^{1} (x^{3}+1)$$ = 

$${\normalsize \int_{0}^{1} (x^{3}+1)}$$ = $${\normalsize (\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}}$$

Paaiškinimas:

Laipsnio integralas, kur n = 3
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 1

|(_0;^1; 

3

/ 4

* saknis(3, x^⁴)+x)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{x^{4}}+x){\LARGE |}_{0}^{1}-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize (\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{x^{4}}+x){\LARGE |}_{0}^{1}}$$ = $${\normalsize ((\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{1^{4}}+1)-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0))}$$

Paaiškinimas:

$${\normalsize (F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a)}$$, čia F(x) = 3/4*saknis(3,x^4)+x a = 0, b = 1

( 

3

/ 4

* saknis(3, 1^⁴)+1)-( 

3

/ 4

* saknis(3, 0^⁴)+0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{1^{4}}+1)-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize \sqrt[3]{1^{4}}}$$ = $${\normalsize 1}$$

( 

3

/ 4

* 1+1)-( 

3

/ 4

* saknis(3, 0^⁴)+0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$(\frac{3}{4}\cdot 1+1)-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize \frac{3}{4}\cdot 1}$$ = $${\normalsize \frac{3}{4}}$$

( 

3

/ 4

+1)-( 

3

/ 4

* saknis(3, 0^⁴)+0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$(\frac{3}{4}+1)-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize (\frac{3}{4}+1)}$$ = $${\normalsize \frac{3}{4}+1}$$

 

3

/ 4

+1-( 

3

/ 4

* saknis(3, 0^⁴)+0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize \sqrt[3]{0^{4}}}$$ = $$0$$

 

3

/ 4

+1-( 

3

/ 4

* 0+0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{3}{4}\cdot 0+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize \frac{3}{4}\cdot 0}$$ = $$0$$

 

3

/ 4

+1-(0+0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$\frac{3}{4}+1-(0+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

 

3

/ 4

+1-(0)-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$\frac{3}{4}+1-(0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize -(0)}$$ = $$0$$

 

3

/ 4

+1-0-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$\frac{3}{4}+1-0-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

 

3

/ 4

+1-|(_0;^1; 

1

/ 4

* x^⁴+x) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$ = 

$${\normalsize (\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}}$$ = $${\normalsize ((\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)-(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0))}$$

Paaiškinimas:

$${\normalsize (F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a)}$$, čia F(x) = 1/4*x^4+x a = 0, b = 1

 

3

/ 4

+1-(( 

1

/ 4

* 1^⁴+1)-( 

1

/ 4

* 0^⁴+0)) = $$\frac{3}{4}+1-((\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)-(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0))$$ = 

$${\normalsize -((\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)-(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0))}$$ = $${\normalsize -(\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)+(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0)}$$

 

3

/ 4

+1-( 

1

/ 4

* 1^⁴+1)+( 

1

/ 4

* 0^⁴+0) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)+(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0)$$ = 

$${\normalsize \frac{1}{4}\cdot 1^{4}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{4}}$$

 

3

/ 4

+1-( 

1

/ 4

+1)+( 

1

/ 4

* 0^⁴+0) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)+(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0)$$ = 

$${\normalsize \frac{1}{4}\cdot 0^{4}}$$ = $$0$$

 

3

/ 4

+1-( 

1

/ 4

+1)+(0+0) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)+(0+0)$$ = 

$${\normalsize (0+0)}$$ = $${\normalsize 0+0}$$

 

3

/ 4

+1-( 

1

/ 4

+1)+0+0 = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)+0+0$$ = 

 

3

/ 4

+1-( 

1

/ 4

+1)+0 = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)+0$$ = 

 

3

/ 4

+1-( 

1

/ 4

+1) = $$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)$$ = 

$${\normalsize -(\frac{1}{4}+1)}$$ = $${\normalsize -\frac{1}{4}-1}$$

 

3

/ 4

+1- 

1

/ 4

-1 = $$\frac{3}{4}+1-\frac{1}{4}-1$$ = 

 

3

/ 4

- 

1

/ 4

+1-1 = $$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}+1-1$$ = 

$${\normalsize 1-1}$$ = $$0$$

 

3

/ 4

- 

1

/ 4

+0 = $$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}+0$$ = 

 

3

/ 4

- 

1

/ 4

 = $$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$$ = 

$${\normalsize \frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{2}}$$

 

1

/ 2

$$\frac{1}{2}$$

$$\int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x}+1)-\int_{0}^{1} (x^{3}+1)$$  = $$$$

$$(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{x^{4}}+x){\LARGE |}_{0}^{1}-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$  = $$$$

$$(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{1^{4}}+1)-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-(\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{0^{4}}+0)-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}\cdot x^{4}+x){\LARGE |}_{0}^{1}$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-((\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)-(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0))$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1)+(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}+0)$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)+(0+0)$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-(\frac{1}{4}+1)$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}+1-\frac{1}{4}-1$$  = $$$$

$$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$$  = $$$$

$$\frac{1}{2}$$ $$$$

∫(0;1;saknis(3,x)+1)-∫(0;1;x^3+1)  = 

|(0;1;3/4*saknis(3,x^4)+x)-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 

(3/4*saknis(3,1^4)+1)-(3/4*saknis(3,0^4)+0)-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 

3/4+1-(3/4*saknis(3,0^4)+0)-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 

3/4+1-|(0;1;1/4*x^4+x)  = 

3/4+1-((1/4*1^4+1)-(1/4*0^4+0))  = 

3/4+1-(1/4*1^4+1)+(1/4*0^4+0)  = 

3/4+1-(1/4+1)+(0+0)  = 

3/4+1-(1/4+1)  = 

3/4+1-1/4-1  = 

3/4-1/4  = 

1/2

Atsakymas: $$\frac{1}{2}$$

3. Per f₂(x) =$$\sqrt[3]{x}+1$$ grafiko  tašką  A  nubrėžta  liestinė. Raskite  kampo,  kurį  liestinė  sudaro  su teigiamąja ašies Ox kryptimi, tangentą

Sprendimas.

Norint rasti liestinės tangentą, reikia rasti  f₂(x) išvestinę taške x = 1

 (saknis(3,x)+1)′  = 

 (saknis(3,x)+1)′ = $$(\sqrt[3]{x}+1)'$$ = 

$${\normalsize (\sqrt[3]{x}+1)'}$$ = $${\normalsize \frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^{2}}}}$$

Paaiškinimas:

n - o laipsnio šaknies išvestinė, čia n = 3
Konstantos išvestinė yra 0

 

1

/ 3/ saknis(3, x^2)

 = $$\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize x}$$ = $${\normalsize 1}$$.

 

1

/ 3/ saknis(3, 1^2)

 = $$\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{1^{2}}}$$ = 

$${\normalsize \frac{1}{\sqrt[3]{1^{2}}}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{1}}$$

 

1

/ 3/ 1

 = $$\frac{1}{3\cdot 1}$$ = 

$${\normalsize 3\cdot 1}$$ = $${\normalsize 3}$$

 

1

/ 3

$$\frac{1}{3}$$

$$(\sqrt[3]{x}+1)'$$  = $$$$

$$\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$$  = $$$$

$$\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{1^{2}}}$$  = $$$$

$$\frac{1}{3}$$ $$$$

(saknis(3,x)+1)′  = 

1/3/saknis(3,x^2)  = 

1/3/saknis(3,1^2)  = 

1/3

Atsakymas: $$\frac{1}{3}$$