26 uždavinys

Sprendimas:

ΔABE = ΔACD, todėl atitinkami kampai lygūs: ∠DAC = ∠ABE = a.

Tada ∠BAF = 60° - a.

∠AFB = 180° - ∠ABE - ∠BAF = 180° - a - (60° - a) = 180° - a - 60° + a = 120°.

∠AFE = 180° - ∠AFB = 180° - 120° = 60°

Sprendimas:

Pirmoje dalyje įrodyta, kad ∠AFE = 60°.

Trikampis ABC lygiakraštis, todėl ∠C = 60°.

Be to trikampiai ΔACD ir ΔAFE turi bendrą kampą.

Pagal 2 kampus trikampiai ΔACD ir ΔAFE yra panašūs.

Sprendimas:

Pažymėkim AC = 5, CD = 2.

Pagal kosinusų teoremą randame AD:

$AD$ = $\sqrt {AC^{2}+CD^{2}-2\cdot AC\cdot CD\cdot cos(60)}$ = $\sqrt {5^{2}+2^{2}-2\cdot 5\cdot 2\cdot cos(60)}$ = $\sqrt {29-\frac{20\cdot 1}{2}}$ = $\sqrt {19}$

$AD$ = $\sqrt {19}$ .

Trikampiai ΔACD ir ΔAFE panašūs,

AF ir AC bei AE ir AD yra jų atitinkamos kraštinės.

Jos proporcingos, todėl $\frac{AF}{AC}$ = $\frac{AE}{AD}$

AC = 5, AE = 2, AD = $\sqrt {19}$ . Įsistatome šias reikšmes į proporciją:

$\frac{AF}{5}$ = $\frac{2}{\sqrt {19}}$

$AF$ = $\frac{10}{\sqrt {19}}$

$AF$ = $\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}$

Randame FD:

$FD$ = $AD-AF$ = $\sqrt {19}-\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}$ = $\frac{19\cdot \sqrt {19}}{19}-\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}$ = $\frac{9\cdot \sqrt {19}}{19}$

Jau radome AF ir FD, padaliname vieną iš kito:

$\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}:(\frac{9\cdot \sqrt {19}}{19})$ = $\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}\cdot \frac{19}{9\cdot \sqrt {19}}$ = $\frac{10}{9}$

Atsakymas: $\frac{10}{9}$