26 uždavinys

Sprendimas:

ΔABE = ΔACD, todėl atitinkami kampai lygūs: ∠DAC = ∠ABE = a.

Tada ∠BAF = 60° - a.

∠AFB = 180° - ∠ABE - ∠BAF = 180° - a - (60° - a) = 180° - a - 60°  + a = 120°.

∠AFE = 180° - ∠AFB = 180° - 120° = 60°

Sprendimas:

Pirmoje dalyje įrodyta, kad ∠AFE = 60°.

Trikampis ABC lygiakraštis, todėl ∠C = 60°.

Be to trikampiai ΔACD ir ΔAFE turi bendrą kampą.

Pagal 2 kampus trikampiai ΔACD ir ΔAFE yra panašūs.

Sprendimas:

Pažymėkim AC = 5, CD = 2.

Pagal kosinusų teoremą randame AD: 

$$AD = \sqrt {AC^{2}+CD^{2}-2\cdot AC\cdot CD\cdot cos(60)} = \sqrt {5^{2}+2^{2}-2\cdot 5\cdot 2\cdot cos(60)} = \sqrt {29-\frac{20\cdot 1}{2}} = \sqrt {19}$$

$$AD = \sqrt {19}$$.

Trikampiai ΔACD ir ΔAFE panašūs,

AF ir AC bei AE ir AD yra jų atitinkamos kraštinės.

Jos proporcingos, todėl $$\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AD}$$

AC = 5, AE = 2, AD = $$\sqrt {19}$$. Įsistatome šias reikšmes į proporciją:

 $$\frac{AF}{5} = \frac{2}{\sqrt {19}}$$

 $$AF = \frac{10}{\sqrt {19}}$$

 $$AF = \frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}$$

Randame FD:

$$FD = AD-AF = \sqrt {19}-\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19} = \frac{19\cdot \sqrt {19}}{19}-\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19} = \frac{9\cdot \sqrt {19}}{19}$$

Jau radome AF ir FD, padaliname vieną iš kito:

$$\frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}:(\frac{9\cdot \sqrt {19}}{19}) = \frac{10\cdot \sqrt {19}}{19}\cdot \frac{19}{9\cdot \sqrt {19}} = \frac{10}{9}$$

Atsakymas: $$\frac{10}{9}$$