25 uždavinys

Sprendimas:

Aritmetinės progresijos narys yra savo kaimynų aritmetinis vidurkis:

$$a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

$$b = \frac{a+10-a}{2}$$

$$b = \frac{10}{2}$$

$$b = 5$$

Geometrinės progresijos narys yra savo kaimynų geometrinis vidurkis:

$$b_{2} = \sqrt {b_{1}\cdot b_{3}}$$

$$b_{2} = b+4 = 5+4 = 9$$

$$9 = \sqrt {(a+1)\cdot (29-a)}$$

$$9 = \sqrt {(29\cdot a-a^{2}+29-a)}$$

$$9 = \sqrt {(-a^{2}+28\cdot a+29)}$$

 $$9^{2} = \sqrt {(-a^{2}+28\cdot a+29)}^{2}$$

 $$81 = -a^{2}+28\cdot a+29$$

 $$a^{2}-28\cdot a+52 = $$

$$D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 784-208$$ = 576. 

$$x_{1} = \frac{28+\sqrt {576}}{2\cdot 1} = \frac{28+24}{2} = \frac{14+12}{1} = \frac{26}{1}$$ = $$26$$ 

$$x_{2} = \frac{28-\sqrt {576}}{2\cdot 1} = \frac{28-24}{2} = \frac{14-12}{1} = \frac{2}{1}$$ = $$2$$

a = 2 ir a = 26

Bet tinka tik a = 2, nes aritmetinė progresija yra didėjanti.

Atsakymas: a = 2 ir b  = 5