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Duota funkcija f (x) = 4log₄(2 + x) + log₂(1 - x).

1. Nustatykite f (x) apibrėžimo sritį.

Sprendimas:

Logaritmuojami reiškiniai turi būti teigiami:

2 + x > 0
1 - x > 0

x > - 2
x < 1

Sankirta:

Atsakymas: x priklauso (-2;1)

2. Įrodykite, kad , f ' (x) = $\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(x+2)\cdot (x-1)}$ , kai - 2 < x < 1.

Sprendimas:

( 4* log(₄,2+x)+log(₂,1-x))′ =

( 4* log(₄,2+x)+log(₂,1-x))′ = $(4\cdot log_{4}(2+x)+log_{2}(1-x))'$ =

4* 1

/ (2+x)/ ln(4)

+ log(₂,1-x)′ = $\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}+log_{2}(1-x)'$ =

4* 1

/ (2+x)/ ln(4)

-

1

/ (1-x)/ ln(2)

= $\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

4* 1

/ (2+x)/ ln( 2^²)

-

1

/ (1-x)/ ln(2)

= $\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(2^{2})}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

4* 1

/ (2+x)/ 2/ ln(2)

-

1

/ (1-x)/ ln(2)

= $\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot 2\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

2

/ (2+x)/ ln(2)

-

1

/ (1-x)/ ln(2)

= $\frac{2}{(2+x)\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

( 2* (1-x)-(2+x))

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{2\cdot 1-x-(2+x)}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

( 2* 1- 2* x-(2+x))

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{2\cdot 1-2\cdot x-(2+x)}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

( 2* 1- 2* x-2-x)

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{2\cdot 1-2\cdot x-2-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

( 2* 1-2- 2* x-x)

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{2\cdot 1-2-2\cdot x-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

(0- 2* x-x)

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{0-2\cdot x-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

(0- 3* x)

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{0-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

(- 3* x)

/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)

= $\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

(- 3* x)

/ (2+x)/ ln(2)/ (- 1* (x-1))

= $\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (-1\cdot (x-1))}$ =

3* x

/ (2+x)/ ln(2)/ (x-1)

= $\frac{3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (x-1)}$ =

3* x

/ ln(2)/ (2+x)/ (x-1)

= $\frac{3\cdot x}{ln(2)\cdot (2+x)\cdot (x-1)}$ =

3

/ ln(2)

*

x

/ (2+x)/ (x-1)

$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)}$

$(4\cdot log_{4}(2+x)+log_{2}(1-x))'$ =

$4\cdot log_{4}(2+x)'+log_{2}(1-x)'$ =

$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}+log_{2}(1-x)'$ =

$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot 2\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

$\frac{2}{(2+x)\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$ =

$\frac{2\cdot 1-x-(2+x)}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

$\frac{2\cdot 1-2\cdot x-2-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

$\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$ =

$\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (-1\cdot (x-1))}$ =

$\frac{3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (x-1)}$ =

$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)}$

3. Išspręskite nelygybę f ' (x) ≥ 0.

Sprendimas:

$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)}$ ≥ 0

$\frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)}$ ≥ 0

Kairioji pusė lygi nuliui arba yra neapibrėžta kai x = 0; 2 + x = 0; x - 1 = 0.

Tai yra taškai x = -2; x = 0; x = 1.

Kai x < - 2 (pvz x = - 3), kairioji pusė neigiama.

Kai -2 < x ≤ 0 (pvz x = -1), kairioji pusė teigiama arba lygi nuliui.

Kai 0 < x < 1, kairioji pusė neigiama,

Kai x > 1, kairioji pusė teigiama.

Kairioji pusė teigiama arba lygi nului, kai x priklauso (-2; 0] ∪ (1; +∞)

Pirmoje dalyje rasta apibrėžimo sritis:

Sankirta:

Atsakymas: x priklauso (-2; 0]

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