31 uždavinys

Trys dviratininkai kas valandą išvažiuoja iš tos pačios vietos ir važiuoja viena kryptimi.

Pirmojo dviratininko greitis 12 km/h, antrojo – 10 km/h. Trečiasis dviratininkas, važiuodamas

greičiau nei pirmasis, pirmiausia pavijo antrąjį, o praėjus dar 2 valandoms – pirmąjį

dviratininką. Koks trečiojo dviratininko greitis?

Sprendimas.

x - trečiojo dviratininko greitis.

Tarkim trečiasis dviratininkas pavijo antrąjį po t valandų, kai išvažiavo pats. Tuo momentu antrasis dviratininkas, važiavęs greičiu 10 km/h, buvo užtrukęs 1 + t valandų, kadangi buvo išvažiavęs valanda anksčiau.

xt = 10 (t + 1).

Dar po dviejų valandų pavijo pirmąjį, važiavusį 12 km/h greičiu. Trečiojo sugaištas laikas: t + 2, o pirmojo t + 4, kadangi išvažiavo dviem valandom anksčiau.

x(t+2) = 12 (t + 4).

Dviejų lygčių sistema:

xt = 10 (t + 1)

x(t+2) = 12 (t + 4).

Iš pirmos lygties išsireiškiam t:

x* t =
10* (t+1)

x* t = 10* (t+1) $x\cdot t$ = $10\cdot (t+1)$

x* t = 10* t+ 10* 1 $x\cdot t$ = $10\cdot t+10\cdot 1$

x* t- 10* t = 10 $x\cdot t-10\cdot t$ = $10$

t =

/ (x-10)

$t$ = $\frac{10}{x-10}$

$x\cdot t$ = $10\cdot (t+1)$

$x\cdot t$ = $10\cdot t+10$

$x\cdot t-10\cdot t$ = $10$

$t\cdot (x-10)$ = $10$

$t$ = $\frac{10}{x-10}$

Gautą t išraišką statome į antrą lygtį:

x* (t+2) =
12* (t+4)

x* (t+2) = 12* (t+4) $x\cdot (t+2)$ = $12\cdot (t+4)$

x* (t+2) = 12* t+ 12* 4 $x\cdot (t+2)$ = $12\cdot t+12\cdot 4$

x* t+ x* 2 = 12* t+48 $x\cdot t+x\cdot 2$ = $12\cdot t+48$

x* 10

/ (x-10)

120

/ (x-10)

+ 2* x = 48 $\frac{x\cdot 10}{x-10}-\frac{120}{x-10}+2\cdot x$ = $48$

x* 10

/ (x-10)

120

/ (x-10)

= 48- 2* x $\frac{x\cdot 10}{x-10}-\frac{120}{x-10}$ = $48-2\cdot x$

10* x-120 = (x-10)* (48- 2* x) $10\cdot x-120$ = $(x-10)\cdot (48-2\cdot x)$

10* x-120 = x* (48- 2* x)- 10* (48- 2* x) $10\cdot x-120$ = $x\cdot (48-2\cdot x)-10\cdot (48-2\cdot x)$

10* x-120 = x* 48- x* 2* x- 10* (48- 2* x) $10\cdot x-120$ = $x\cdot 48-x\cdot 2\cdot x-10\cdot (48-2\cdot x)$

10* x-120 = x* 48- 2* x^²- 10* (48- 2* x) $10\cdot x-120$ = $x\cdot 48-2\cdot x^{2}-10\cdot (48-2\cdot x)$

10* x-120 = 48* x- 2* x^²- 10* (48- 2* x) $10\cdot x-120$ = $48\cdot x-2\cdot x^{2}-10\cdot (48-2\cdot x)$

10* x-120 = 48* x- 2* x^²- 10* 48+ 10* 2* x $10\cdot x-120$ = $48\cdot x-2\cdot x^{2}-10\cdot 48+10\cdot 2\cdot x$

10* x-120 = 48* x- 2* x^²-480+ 20* x $10\cdot x-120$ = $48\cdot x-2\cdot x^{2}-480+20\cdot x$

2* x^²+ 10* x-120 = 48* x-480+ 20* x $2\cdot x^{2}+10\cdot x-120$ = $48\cdot x-480+20\cdot x$

2* x^²- 20* x+ 10* x-120 = 48* x-480 $2\cdot x^{2}-20\cdot x+10\cdot x-120$ = $48\cdot x-480$

2* x^²- 20* x+ 10* x- 48* x-120 = -480 $2\cdot x^{2}-20\cdot x+10\cdot x-48\cdot x-120$ = $-480$

2* x^²- 20* x+ 10* x- 48* x-120+480 = 0 $2\cdot x^{2}-20\cdot x+10\cdot x-48\cdot x-120+480$ = 0

$x\cdot (t+2)$ = $12\cdot (t+4)$

$x\cdot t+2\cdot x$ = $12\cdot t+48$

$\frac{x\cdot 10}{x-10}+2\cdot x$ = $\frac{12\cdot 10}{x-10}+48$

$\frac{x\cdot 10}{x-10}-\frac{120}{x-10}$ = $48-2\cdot x$

$\frac{10\cdot x-120}{x-10}$ = $(48-2\cdot x)$

$10\cdot x-120$ = $(x-10)\cdot (48-2\cdot x)$

$10\cdot x-120$ = $48\cdot x-2\cdot x^{2}-480+20\cdot x$

$2\cdot x^{2}-20\cdot x+10\cdot x-48\cdot x-120+480$ = 0

$2\cdot x^{2}-58\cdot x-120+480$ = 0

$2\cdot x^{2}-58\cdot x+360$ = 0

$2\cdot (x-20)\cdot (x-9)$ = 0

$x$ = $20$

$x$ = $9$

Gavome x = 9 ir x = 20.

Kadangi trečiojo dviratininko greitis didžiausias iš visų, tinka tik x = 20

Atsakymas: 20 km/h

30 uždavinys

Atgal