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Taisyklingosios trikampės piramidės ABCS tūris lygus 8, piramidės aukštinė SO yra  $$2\cdot \sqrt {3}$$ ilgio. Apskaičiuokite piramidės pagrindo ABC aukštinės ilgį.

Sprendimas.

Piramidės tūrio formulė $$V = \frac{1}{3}\cdot S_{pagr}\cdot h$$.

Aukštinė h (SO) lygi $$2\cdot \sqrt {3}$$,  tūris lygus 8.

Rasime pagrindo plotą:

V  = 
 

1

/ 3

* S__pagr* h

V =  

1

/ 3

* S__pagr* h$$V$$ = $$\frac{1}{3}\cdot S_{pagr}\cdot h$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize V}$$ = $${\normalsize 8}$$.

8 =  

1

/ 3

* S__pagr* h$$8$$ = $$\frac{1}{3}\cdot S_{pagr}\cdot h$$

h = 2saknis(3)

8 =  

1

/ 3

* S__pagr* 2* saknis(3)$$8$$ = $$\frac{1}{3}\cdot S_{pagr}\cdot 2\cdot \sqrt {3}$$

8 =  

2* S_pagr* saknis(3)

/ 3

$$8$$ = $$\frac{2\cdot S_{pagr}\cdot \sqrt {3}}{3}$$

 8* 3 =  2* S__pagr* saknis(3)$$8\cdot 3$$ = $$2\cdot S_{pagr}\cdot \sqrt {3}$$

 

8* 3

/ 2

 =  S__pagr* saknis(3)$$\frac{8\cdot 3}{2}$$ = $$S_{pagr}\cdot \sqrt {3}$$

 

8* 3

/ 2/ saknis(3)

 = S__pagr$$\frac{8\cdot 3}{2\cdot \sqrt {3}}$$ = $$S_{pagr}$$

S__pagr =  

8* 3

/ 2/ saknis(3)

$$S_{pagr}$$ = $$\frac{8\cdot 3}{2\cdot \sqrt {3}}$$

$${\normalsize 8\cdot 3}$$ = $${\normalsize 24}$$

S__pagr =  

24

/ 2/ saknis(3)

$$S_{pagr}$$ = $$\frac{24}{2\cdot \sqrt {3}}$$

$${\normalsize \frac{24}{2\cdot \sqrt {3}}}$$ = $${\normalsize \frac{12}{\sqrt {3}}}$$

S__pagr =  

12

/ saknis(3)

$$S_{pagr}$$ = $$\frac{12}{\sqrt {3}}$$

$$V$$  = $$\frac{1}{3}\cdot S_{pagr}\cdot h$$

$$8$$  = $$\frac{1}{3}\cdot S_{pagr}\cdot 2\cdot \sqrt {3}$$

$$8$$  = $$\frac{2\cdot S_{pagr}\cdot \sqrt {3}}{3}$$

$$\frac{8\cdot 3}{2\cdot \sqrt {3}}$$  = $$S_{pagr}$$

$$S_{pagr}$$  = $$\frac{8\cdot 3}{2\cdot \sqrt {3}}$$

$$S_{pagr}$$  = $$\frac{24}{2\cdot \sqrt {3}}$$

$$S_{pagr}$$  = $$\frac{12}{\sqrt {3}}$$

V  =  1/3*S_pagr*h

8  =  1/3*S_pagr*2*saknis(3)

8  =  2*S_pagr*saknis(3)/3

8*3/2/saknis(3)  =  S_pagr

S_pagr  =  8*3/2/saknis(3)

S_pagr  =  24/2/saknis(3)

S_pagr  =  12/saknis(3)

Pagrindo plotas: $$\frac{12}{\sqrt {3}}$$.

Kadangi piramidė taisyklinga, jos pagrindas lygiakraštis trikampis.

Lygiakraščio trikampio ploto formulė $$S = \frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$$

Rasime kraštinę a:

S  = 
 

a^2* saknis(3)

/ 4

S =  

a^2* saknis(3)

/ 4

$$S$$ = $$\frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize S}$$ = $${\normalsize \frac{12}{\sqrt {3}}}$$.

 

12

/ saknis(3)

 =  

a^2* saknis(3)

/ 4

$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$ = $$\frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$$

 

12

/ saknis(3)/ saknis(3)

 =  

a^2

/ 4

$$\frac{12}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$ = $$\frac{a^{2}}{4}$$

 

12* 4

/ saknis(3)/ saknis(3)

 =  a^²$$\frac{12\cdot 4}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$ = $$a^{2}$$

 a^² =  

12* 4

/ saknis(3)/ saknis(3)

$$a^{2}$$ = $$\frac{12\cdot 4}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$

$${\normalsize 12\cdot 4}$$ = $${\normalsize 48}$$

 a^² =  

48

/ saknis(3)/ saknis(3)

$$a^{2}$$ = $$\frac{48}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$

 a^² =  

48

/ 3

$$a^{2}$$ = $$\frac{48}{3}$$

$${\normalsize \frac{48}{3}}$$ = $${\normalsize 16}$$

 a^² = 16$$a^{2}$$ = $$16$$

saknis( a^²) = saknis(16)$$\sqrt {a^{2}}$$ = $$\sqrt {16}$$

$${\normalsize \sqrt {a^{2}}}$$ = $${\normalsize a}$$

a = saknis(16)$$a$$ = $$\sqrt {16}$$

$${\normalsize \sqrt {16}}$$ = $${\normalsize 4}$$

a = 4$$a$$ = $$4$$

$$S$$  = $$\frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$$

$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$  = $$\frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$$

$$\frac{12\cdot 4}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$  = $$a^{2}$$

$$a^{2}$$  = $$\frac{12\cdot 4}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$

$$a^{2}$$  = $$\frac{48}{3}$$

$$a^{2}$$  = $$16$$

$$\sqrt {a^{2}}$$  = $$\sqrt {16}$$

$$a$$  = $$4$$

S  =  a^2*saknis(3)/4

12/saknis(3)  =  a^2*saknis(3)/4

12*4/saknis(3)/saknis(3)  =  a^2

a^2  =  12*4/saknis(3)/saknis(3)

a^2  =  48/3

a^2  =  16

saknis(a^2)  =  saknis(16)

a  =  4

Kraštinė lygi 4.

Kita trikampio ploto formulė $$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

Rasime aukštinę h (CD):

S  = 
 

1

/ 2

* a* h

S =  

1

/ 2

* a* h$$S$$ = $$\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize S}$$ = $${\normalsize \frac{12}{\sqrt {3}}}$$.

 

12

/ saknis(3)

 =  

1

/ 2

* a* h$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$ = $$\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

a = 4

 

12

/ saknis(3)

 =  

1

/ 2

* 4* h$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$ = $$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h$$

$${\normalsize \frac{1}{2}\cdot 4}$$ = $${\normalsize 2}$$

 

12

/ saknis(3)

 =  2* h$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$ = $$2\cdot h$$

 

12

/ 2/ saknis(3)

 = h$$\frac{12}{2\cdot \sqrt {3}}$$ = $$h$$

h =  

12

/ 2/ saknis(3)

$$h$$ = $$\frac{12}{2\cdot \sqrt {3}}$$

$${\normalsize \frac{12}{2\cdot \sqrt {3}}}$$ = $${\normalsize \frac{6}{\sqrt {3}}}$$

h =  

6

/ saknis(3)

$$h$$ = $$\frac{6}{\sqrt {3}}$$

h =  

6* saknis(3)

/ saknis(3)/ saknis(3)

$$h$$ = $$\frac{6\cdot \sqrt {3}}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$

h =  

6* saknis(3)

/ 3

$$h$$ = $$\frac{6\cdot \sqrt {3}}{3}$$

$${\normalsize \frac{6\cdot \sqrt {3}}{3}}$$ = $${\normalsize 2\cdot \sqrt {3}}$$

h =  2* saknis(3)$$h$$ = $$2\cdot \sqrt {3}$$

$$S$$  = $$\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$  = $$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h$$

$$\frac{12}{\sqrt {3}}$$  = $$2\cdot h$$

$$\frac{12}{2\cdot \sqrt {3}}$$  = $$h$$

$$h$$  = $$\frac{12}{2\cdot \sqrt {3}}$$

$$h$$  = $$\frac{6}{\sqrt {3}}$$

$$h$$  = $$\frac{6\cdot \sqrt {3}}{\sqrt {3}\cdot \sqrt {3}}$$

$$h$$  = $$\frac{6\cdot \sqrt {3}}{3}$$

$$h$$  = $$2\cdot \sqrt {3}$$

S  =  1/2*a*h

12/saknis(3)  =  1/2*4*h

12/saknis(3)  =  2*h

12/2/saknis(3)  =  h

h  =  12/2/saknis(3)

h  =  6/saknis(3)

h  =  6*saknis(3)/saknis(3)/saknis(3)

h  =  6*saknis(3)/3

h  =  2*saknis(3)

Atsakymas: $$2\cdot \sqrt {3}$$