25 uždavinys

24 uždavinys26 uždavinys

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = sin(x) + a grafikas intervale -π/2 <= x <= 3*π/2;  čia a – realusis 

skaičius. Funkcijos didžiausia reikšmė šiame intervale lygi 4, o mažiausia reikšmė lygi 2. 

1.Raskite skaičių a.

2. Per funkcijos grafiko tašką, kurio abscisė  x0 = π, nubrėžta liestinė. Kokio didumo 

kampą sudaro ši liestinė su teigiamąja ašies Ox kryptimi?

3. Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos  f(x) =  sin(x) + a grafikas ir tiesės y = 0, x = -π/2,  x = π/2, plotą. 

 Sprendimas.

1. Didžiausia reikšmė 4:

4 = sin(x) + a.

sin(x) didžiausia reikšmė yra 1:

4 = 1 + a,

a = 3, y = sin(x) + 3

Atsakymas: 3

2. Norint rasti liestinės kampą, reikia rasti išvestinę tame taške.

 (sin(x)+4)′  = 
 (sin(x)+4)′ = ##2@@(#@2@#sin(x)+4##3@@)#@3@#′ = 
(sin(x)+4)′ = sin(x)′+4′
Paaiškinimas:
Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′
 sin(x)′+ 4′ = sin(x)′+4##4@@′#@4@# = 
4′ = 0
Paaiškinimas:
Konstantos išvestinė yra 0
 sin(x)′+0 = sin(x)′##5@@+#@5@#0 = 
 sin(x)′ = sin(x)##7@@′#@7@# = 
sin(x)′ = cos(x)
Paaiškinimas:
sin(x) išvestinė yra cos(x)
cos(x) = cos(##8@@x#@8@#) = 
Paaiškinimas:
Keitimas x = π.
cos(π) = ##10@@cos(##9@@π#@9@#)#@10@# = 
cos(π) = -1
-1-1
##2@@(#@2@#sin(x)+4##3@@)#@3@#′  = 
sin(x)##7@@′#@7@#  = 
cos(##8@@x#@8@#)  = 
##10@@cos(##9@@π#@9@#)#@10@#  = 
-1

Liestinės kampo tangentas = -1,

kampas yra 135 laipsniai.

Atsakymas: 135

3. Norint rasti plotą, reikia apskaičiuoti funkcijos y apibrėžtinį intergralą tarp taškų x = -π/2 ir x = π/2

∫(-π/2;π/2;sin(x)+3)  = 
∫(-π/2;π/2;sin(x)+3) = ##1@@∫(-π/2;π/2;sin(x)+3)#@1@# = 
∫(-π/2;π/2;sin(x)+3) = (-cos(x)+3*x){\LARGE |}_{-π/2}^{π/2}
Paaiškinimas:
sin(x) integralas
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 3
|(-π/2;π/2;-cos(x)+ 3* x) = ##2@@|(-π/2;π/2;-cos(x)+3*x)#@2@# = 
(-cos(x)+3*x){\LARGE |}_{-π/2}^{π/2} = ((-cos(π/2)+3*π/2)-(-cos(-π/2)+3*(-π/2)))
Paaiškinimas:
(F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a), čia F(x) = -cos(x)+3*x a = -π/2, b = π/2
(-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
)-(-cos(- 
 π
/ 2
)+ 3* (- 
 π
/ 2
)) = ##3@@(#@3@#-cos(π/2)+3*π/2##4@@)#@4@#-(-cos(-π/2)+3*(-π/2)) = 
-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
-(-cos(- 
 π
/ 2
)+ 3* (- 
 π
/ 2
)) = -cos(π/2)+3*π/2-##5@@(#@5@#-cos(-π/2)+3*(-π/2)##6@@)#@6@# = 
-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+cos(- 
 π
/ 2
)- 3* (- 
 π
/ 2
) = -cos(π/2)+3*π/2+cos(-π/2)-3##7@@*#@7@#(-π/2) = 
3*(-π/2) = -3*π/2
-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+cos(- 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
 = -cos(π/2)##9@@+3*π/2#@9@###11@@+cos(-π/2)#@11@#+3*π/2 = 
-cos( 
 π
/ 2
)+cos(- 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = -##13@@cos(π/2)#@13@#+cos(-π/2)+3*π/2+3*π/2 = 
cos(π/2) = 0
-0+cos(- 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = -0+##14@@cos(-π/2)#@14@#+3*π/2+3*π/2 = 
cos(-π/2) = 0
-0+0+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = -0##15@@+#@15@#0+3*π/2+3*π/2 = 
0+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = +0##16@@+#@16@#3*π/2+3*π/2 = 
 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = +3*π/2##17@@+#@17@#3*π/2 = 
3*π/2+3*π/2 = 3*π
 3* π3*π
##1@@∫(-π/2;π/2;sin(x)+3)#@1@#  = 
##2@@|(-π/2;π/2;-cos(x)+3*x)#@2@#  = 
##3@@(#@3@#-cos(π/2)+3*π/2##4@@)#@4@#-(-cos(-π/2)+3*(-π/2))  = 
-cos(π/2)+3*π/2+cos(-π/2)-3##7@@*#@7@#(-π/2)  = 
-cos(π/2)##9@@+3*π/2#@9@###11@@+cos(-π/2)#@11@#+3*π/2  = 
-##13@@cos(π/2)#@13@#+cos(-π/2)+3*π/2+3*π/2  = 
-0##15@@+#@15@#0+3*π/2+3*π/2  = 
+3*π/2##17@@+#@17@#3*π/2  = 
3*π

Atsakymas: 3*π

24 uždavinys26 uždavinys
Visos teisės saugomos ©