25 uždavinys

24 uždavinys26 uždavinys

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = sin(x) + a grafikas intervale −π2-\frac{\pi}{2} <= x <= 3⋅π2\frac{3\cdot \pi}{2};  čia a – realusis 

skaičius. Funkcijos didžiausia reikšmė šiame intervale lygi 4, o mažiausia reikšmė lygi 2. 

1.Raskite skaičių a.

2. Per funkcijos grafiko tašką, kurio abscisė  x0 = π, nubrėžta liestinė. Kokio didumo 

kampą sudaro ši liestinė su teigiamąja ašies Ox kryptimi?

3. Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos  f(x) =  sin(x) + a grafikas ir tiesės y = 0, x=−π2x = -\frac{\pi}{2},  x=π2x = \frac{\pi}{2}, plotą. 

 Sprendimas.

1. Didžiausia reikšmė 4:

4 = sin(x) + a.

sin(x) didžiausia reikšmė yra 1:

4 = 1 + a,

a = 3, y = sin(x) + 3

Atsakymas: 3

2. Norint rasti liestinės kampą, reikia rasti išvestinę tame taške.

 (sin(x)+4)′  = 
 (sin(x)+4)′ = (sin(x)+4)′(sin(x)+4)' = 
(sin(x)+4)′{\normalsize (sin(x)+4)'} = sin(x)′+4′{\normalsize sin(x)'+4'}
Paaiškinimas:
Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′
 sin(x)′+ 4′ = sin(x)′+4′sin(x)'+4' = 
4′{\normalsize 4'} = 00
Paaiškinimas:
Konstantos išvestinė yra 0
 sin(x)′+0 = sin(x)′+0sin(x)'+0 = 
 sin(x)′ = sin(x)′sin(x)' = 
sin(x)′{\normalsize sin(x)'} = cos(x){\normalsize cos(x)}
Paaiškinimas:
sin(x) išvestinė yra cos(x)
cos(x) = cos(x)cos(x) = 
Paaiškinimas:
Keitimas x{\normalsize x} = π{\normalsize \pi}.
cos(π) = cos(π)cos(\pi) = 
cos(π){\normalsize cos(\pi)} = −1{\normalsize -1}
-1−1-1
(sin(x)+4)′(sin(x)+4)'  = 
sin(x)′sin(x)'  = 
cos(x)cos(x)  = 
cos(π)cos(\pi)  = 
−1-1

Liestinės kampo tangentas = -1,

kampas yra 135 laipsniai.

Atsakymas: 135

3. Norint rasti plotą, reikia apskaičiuoti funkcijos y apibrėžtinį intergralą tarp taškų x=−π2x = -\frac{\pi}{2} ir x=π2x = \frac{\pi}{2}

∫(-π/2;π/2;sin(x)+3)  = 
∫(-π/2;π/2;sin(x)+3) = ∫−π/2π/2(sin(x)+3)\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin(x)+3) = 
∫−π/2π/2(sin(x)+3){\normalsize \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin(x)+3)} = (−cos(x)+3⋅x)∣−π/2π/2{\normalsize (-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}}
Paaiškinimas:
sin(x) integralas
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 3
|(-π/2;π/2;-cos(x)+ 3* x) = (−cos(x)+3⋅x)∣−π/2π/2(-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2} = 
(−cos(x)+3⋅x)∣−π/2π/2{\normalsize (-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}} = ((−cos(π2)+3⋅π2)−(−cos(−π2)+3⋅(−π2))){\normalsize ((-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2})-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2})))}
Paaiškinimas:
(F(x))∣ab=F(b)−F(a){\normalsize (F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a)}, čia F(x) = -cos(x)+3*x a = -π/2, b = π/2
(-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
)-(-cos(- 
 π
/ 2
)+ 3* (- 
 π
/ 2
)) = (−cos(π2)+3⋅π2)−(−cos(−π2)+3⋅(−π2))(-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2})-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2})) = 
-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
-(-cos(- 
 π
/ 2
)+ 3* (- 
 π
/ 2
)) = −cos(π2)+3⋅π2−(−cos(−π2)+3⋅(−π2))-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2})) = 
-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+cos(- 
 π
/ 2
)- 3* (- 
 π
/ 2
) = −cos(π2)+3⋅π2+cos(−π2)−3⋅(−π2)-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})-3\cdot (-\frac{\pi}{2}) = 
3⋅(−π2){\normalsize 3\cdot (-\frac{\pi}{2})} = −3⋅π2{\normalsize -\frac{3\cdot \pi}{2}}
-cos( 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+cos(- 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
 = −cos(π2)+3⋅π2+cos(−π2)+3⋅π2-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2} = 
-cos( 
 π
/ 2
)+cos(- 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = −cos(π2)+cos(−π2)+3⋅π2+3⋅π2-cos(\frac{\pi}{2})+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2} = 
cos(π2){\normalsize cos(\frac{\pi}{2})} = 00
-0+cos(- 
 π
/ 2
)+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = −0+cos(−π2)+3⋅π2+3⋅π2-0+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2} = 
cos(−π2){\normalsize cos(-\frac{\pi}{2})} = 00
-0+0+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = −0+0+3⋅π2+3⋅π2-0+0+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2} = 
0+ 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = 0+3⋅π2+3⋅π20+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2} = 
 
 3* π
/ 2
+ 
 3* π
/ 2
 = 3⋅π2+3⋅π2\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2} = 
3⋅π2+3⋅π2{\normalsize \frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}} = 3⋅π{\normalsize 3\cdot \pi}
 3* π3⋅π3\cdot \pi
∫−π/2π/2(sin(x)+3)\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin(x)+3)  = 
(−cos(x)+3⋅x)∣−π/2π/2(-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}  = 
(−cos(π2)+3⋅π2)−(−cos(−π2)+3⋅(−π2))(-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2})-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2}))  = 
−cos(π2)+3⋅π2+cos(−π2)−3⋅(−π2)-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})-3\cdot (-\frac{\pi}{2})  = 
−cos(π2)+3⋅π2+cos(−π2)+3⋅π2-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}  = 
−cos(π2)+cos(−π2)+3⋅π2+3⋅π2-cos(\frac{\pi}{2})+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}  = 
−0+0+3⋅π2+3⋅π2-0+0+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}  = 
3⋅π2+3⋅π2\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}  = 
3⋅π3\cdot \pi

Atsakymas: 3⋅π3\cdot \pi

24 uždavinys26 uždavinys
Visos teisės saugomos ©