19 uždavinys

18 uždavinys20 uždavinys

Duota funkcija f (x) = 4log4(2 + x) + log2(1 - x).

1. Nustatykite f (x) apibrėžimo sritį.

Sprendimas:

Logaritmuojami reiškiniai turi būti teigiami:

2 + x > 0
1 - x > 0

x > - 2
x < 1

Sankirta:

Atsakymas: x priklauso (-2;1)

2. Įrodykite, kad , f ' (x) = , kai - 2 < x < 1.

Sprendimas:

 ( 4* log(4,2+x)+log(2,1-x))  = 
 ( 4* log(4,2+x)+log(2,1-x)) =  = 
=
Paaiškinimas:
Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′
 ( 4* log(4,2+x))+ log(2,1-x) =  = 
=
Paaiškinimas:
4 iškeltas prieš skliaustus
 4* log(4,2+x)+ log(2,1-x) =  = 
=
Paaiškinimas:
log(a,x) išvestinė yra 1/ln(a)*1/x, čia a = 4
Kompozicijos g(f(x)) išvestinė yra g(y)*f(x) f(x) = (2+x)′
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln(4)
* (2+x)
+ log(2,1-x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
Konstantos išvestinė yra 0
x išvestinė yra 1
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln(4)
* 1
+ log(2,1-x)
 =  = 
=
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln(4)
+ log(2,1-x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
log(a,x) išvestinė yra 1/ln(a)*1/x, čia a = 2
Kompozicijos g(f(x)) išvestinė yra g(y)*f(x) f(x) = (1-x)′
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln(4)
+ 
 1
/ (1-x)/ ln(2)
* (1-x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
Konstantos išvestinė yra 0
x išvestinė yra 1
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln(4)
- 
 1
/ (1-x)/ ln(2)
* 1
 =  = 
=
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln(4)
- 
 1
/ (1-x)/ ln(2)
 =  = 
=
 
 4* 1
/ (2+x)/ ln( 2^2)
- 
 1
/ (1-x)/ ln(2)
 =  = 
=
 
 4* 1
/ (2+x)/ 2/ ln(2)
- 
 1
/ (1-x)/ ln(2)
 =  = 
=
 
 2
/ (2+x)/ ln(2)
- 
 1
/ (1-x)/ ln(2)
 =  = 
=
 
 ( 2* (1-x)-(2+x))
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
=
 
 ( 2* 1- 2* x-(2+x))
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
=
 
 ( 2* 1- 2* x-2-x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
 
 ( 2* 1-2- 2* x-x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
= 0
 
 (0- 2* x-x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
=
 
 (0- 3* x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
 
 (- 3* x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (1-x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
- 1 iškeltas prieš skliaustus
 
 (- 3* x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (- 1* (-1+x))
 =  = 
 
 (- 3* x)
/ (2+x)/ ln(2)/ (- 1* (x-1))
 =  = 
=
 
 3* x
/ (2+x)/ ln(2)/ (x-1)
 =  = 
 
 3* x
/ ln(2)/ (2+x)/ (x-1)
 =  = 
=
 
 3
/ ln(2)
* 
 x
/ (2+x)/ (x-1)
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 

3. Išspręskite nelygybę f ' (x) ≥ 0.

Sprendimas:

  ≥ 0

  ≥ 0

Kairioji pusė lygi nuliui arba yra neapibrėžta kai x = 0; 2 + x = 0; x - 1 = 0.

Tai yra taškai x = -2; x = 0; x = 1.

Kai x < - 2 (pvz x = - 3), kairioji pusė neigiama.

Kai -2 < x ≤ 0 (pvz x = -1), kairioji pusė teigiama arba lygi nuliui.

Kai 0 < x < 1, kairioji pusė neigiama,

Kai x > 1, kairioji pusė teigiama.

Kairioji pusė teigiama arba lygi nului, kai x priklauso (-2; 0] ∪ (1; +∞) 

Pirmoje dalyje rasta apibrėžimo sritis:

Sankirta:

Atsakymas: x priklauso (-2; 0]

18 uždavinys20 uždavinys