22 uždavinys

21 uždavinys23 uždavinys

Lygiakraščio trikampio ABC kraštinės ilgis lygus 10. Kraštinėse BC, AC ir AB pasirinkti taškai K, L ir M taip, kad trikampis KLM yra lygiakraštis.

1. Pagrįskite, kad ∠AML = ∠CLK.

Sprendimas:

Trikampio △ALM kampų suma 180°, todėl ∠AML = 180 - 60 - ∠ALM = 120 - ∠ALM.

Kampas ∠ALB ištiestinis, lygus 180°, todėl ∠CLK = 180 - 60 - ∠ALM = 120 - ∠ALM.

Taigi, ∠AML = ∠CLK

2. Pagrįskite, kad trikampiai AML ir CLK yra lygūs.

Sprendimas:

Pirmoje dalyje buvo parodyta, kad ∠AML = ∠CLK. Kadangi trikampis △ABC lygiakraštis, tai ∠A = ∠C = 60°.

Todėl ir kampai ∠ALM bei ∠LKC yra lygūs.

Kraštinės LM ir LK yra lygios, trikampių △AML ir △CLK kampai prie kraštinių LM ir LK taip pat yra lygūs, todėl ir trikampiai yra lygūs (pagal kraštinę ir prie jos esančius kampus).

3. Pažymėję atkarpos AM ilgį x, o atkarpos LM ilgį y, pagrįskite, kad = , 0 ≤ x ≤ 10.

Sprendimas:

Antroje dalyje įrodėme, kad △AML = △CLK, todėl LC = AM. AL = 10 - LC = 10 - x. Pagal kosinusų teoremą = . Į šią lygtį įstatome AM = x, LC = 10 - x, LM = y

y  = 
saknis( x^2+ (10-x)^2- 2* x* (10-x)* cos(60))
y = saknis( x^2+ (10-x)^2- 2* x* (10-x)* cos(60)) = 
=
Paaiškinimas:
Pagal skirtumo kvadrato formulę
=
a = 10, b = x
y = saknis( x^2+ 10^2- 2* 10* x+ x^2- 2* x* (10-x)* cos(60)) = 
=
y = saknis( x^2+ 10^2- 20* x+ x^2- 2* x* (10-x)* cos(60)) = 
=
y = saknis( x^2+ 10^2- 20* x+ x^2- 
 2* x* (10-x)* 1
/ 2
)
 = 
=
y = saknis( x^2+ 10^2- 20* x+ x^2- (10-x)* x) = 
=
y = saknis( x^2+ 10^2- 20* x+ x^2- 10* x+ x* x) = 
=
y = saknis( x^2+ 10^2- 20* x+ x^2- 10* x+ x^2) = 
y = saknis( x^2+ x^2+ 10^2- 20* x- 10* x+ x^2) = 
y = saknis( x^2+ x^2+ x^2+ 10^2- 20* x- 10* x) = 
y = saknis( x^2+ x^2+ x^2- 20* x- 10* x+ 10^2) = 
=
y = saknis( 2* x^2+ x^2- 20* x- 10* x+ 10^2) = 
=
y = saknis( 3* x^2- 20* x- 10* x+ 10^2) = 
=
y = saknis( 3* x^2- 30* x+ 10^2) = 
=
y = saknis( 3* x^2- 30* x+100) = 

4. Nustatykite, su kuria x reikšme LM ilgis yra mažiausias.

Norint rasti mažiausią y reikšmę, y išvestinę prilyginame nuliui:

 (saknis( 3* x^2- 30* x+100))  = 
0
 (saknis( 3* x^2- 30* x+100)) = 0 = 0
=
Paaiškinimas:
n - o laipsnio šaknies išvestinė, čia n = 2
Kompozicijos g(f(x)) išvestinė yra g(y)*f(x) f(x) = (3*x^2-30*x+100)′
 
 1
/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)
* ( 3* x^2- 30* x+100)
 = 0 = 0
=
Paaiškinimas:
Laipsnio išvestinė, kur n = 2
x išvestinė yra 1
Konstantos išvestinė yra 0
 
 1
/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)
* ( 6* x-30)
 = 0 = 0
 
 ( 6* x-30)* 1
/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)
 = 0 = 0
=
Paaiškinimas:
2 iškeltas prieš skliaustus
 
 2* ( 3* x-15)* 1
/ 2/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)
 = 0 = 0
=
 
 ( 3* x-15)
/ saknis( 3* x^2- 30* x+100)
 = 0 = 0
 3* x-15 = 0 = 0
 3* x = 0+15 = 
 3* x = 15 = 
x =  
 15
/ 3
 = 
=
x = 5 = 

Išvestinė lygi nuliui, kai x = 5.

Kai x < 5, išvestinė neigiama, kai x > 5 išvestinė teigiama, taigi, LM ilgis yra mažiausias, kai x = 5

Atsakymas: x = 5

21 uždavinys23 uždavinys