28 uždavinys

27 uždavinys29 uždavinys

Raskite didžiausią funkcijos f(x) =  reikšmę intervale [0; ]

Sprendimas.

Randame funkcijos f(x) išvestinę.

 ( 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
)
  = 
 ( 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′
 ( 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
)
+ sin(x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
1/2 iškeltas prieš skliaustus
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+ sin(x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
cos(x) išvestinė yra sin(x)
Kompozicijos g(f(x)) išvestinė yra g(y)*f(x) f(x) = (2*x)′
- 
 1
/ 2
* sin( 2* x)* ( 2* x)
+ sin(x)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
x išvestinė yra 1
- 
 1
/ 2
* sin( 2* x)* 2
+ sin(x)
 =  = 
=
-sin( 2* x)+ sin(x) =  = 
=
Paaiškinimas:
sin(x) išvestinė yra cos(x)
-sin( 2* x)+cos(x) =  = 
=
Paaiškinimas:
Sinuso argumento žeminimo formulė =
-( 2* sin(x)* cos(x))+cos(x) =  = 
=
- 2* sin(x)* cos(x)+cos(x) =  = 
=
Paaiškinimas:
cos(x) iškeltas prieš skliaustus
- cos(x)* ( 2* sin(x)-1)
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 

Norint rasti ekstremumus (didžiausias/mažiausias reikšmes), išvestinę  reikia prilyginti nuliui.

Gauname  = 0 (1)

ir  = 0 (2)

Iš (1) lygties gauname x = 

Iš (2) lygties gauname  = ,

x = 

Apskaičiuojame funkcijos f(x) reikšmes rastuose ektremumo taškuose x =  ir x =  bei pradiniame intervalo taške x = 0.

Kai x = 0:

 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
  = 
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
 =  = 
Paaiškinimas:
Keitimas = 0.
 
 1
/ 2
* cos( 2* 0)
+sin(0)
 =  = 
= 0
 
 1
/ 2
* cos(0)
+sin(0)
 =  = 
= 0
 
 1
/ 2
* cos(0)
+0
 =  = 
 
 1
/ 2
* cos(0)
 =  = 
=
 
 1
/ 2
* 1
 =  = 
=
 
 1
/ 2
 = 
 = 
 = 

Kai x =

 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
  = 
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
 =  = 
Paaiškinimas:
Keitimas = .
 
 1
/ 2
* cos( 
 2* π
/ 2
)
+sin( 
 π
/ 2
)
 =  = 
=
 
 1
/ 2
* cos(π)
+sin( 
 π
/ 2
)
 =  = 
=
- 
 1
/ 2
* 1
+sin( 
 π
/ 2
)
 =  = 
=
- 
 1
/ 2
+sin( 
 π
/ 2
)
 =  = 
=
- 
 1
/ 2
+1
 =  = 
=
 
 1
/ 2
 = 
 = 
 = 
 = 

Kai x =  

 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
  = 
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)
+sin(x)
 =  = 
Paaiškinimas:
Keitimas = .
 
 1
/ 2
* cos( 
 2* π
/ 6
)
+sin( 
 π
/ 6
)
 =  = 
=
 
 1
/ 2
* cos( 
 π
/ 3
)
+sin( 
 π
/ 6
)
 =  = 
=
 
 1
/ 2
* 
 1
/ 2
+sin( 
 π
/ 6
)
 =  = 
=
 
 1
/ 4
+sin( 
 π
/ 6
)
 =  = 
=
 
 1
/ 4
+ 
 1
/ 2
 =  = 
=
 
 3
/ 4
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 

Pati didžiausia reikšmė

Atsakymas: 

27 uždavinys29 uždavinys