28 uždavinys

27 uždavinys29 uždavinys

Raskite didžiausią funkcijos f(x) = 1/2*cos(2*x)+sin(x) reikšmę intervale [0; π/2]

Sprendimas.

Randame funkcijos f(x) išvestinę.

 ( 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x))′  = 
 ( 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x))′ = ##1@@(#@1@#1/2*cos(2*x)+sin(x)##2@@)#@2@#′ = 
(1/2*cos(2*x)+sin(x))′ = (1/2*cos(2*x))′+sin(x)′
Paaiškinimas:
Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′
 ( 
 1
/ 2
* cos( 2* x))′+ sin(x)′ = ##3@@(#@3@#1/2*cos(2*x)##4@@)#@4@#′+sin(x)′ = 
1/2*cos(2*x) = 1/2*cos(2*x)′
Paaiškinimas:
1/2 iškeltas prieš skliaustus
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)′+ sin(x)′ = 1/2*cos(2*x)##5@@′#@5@#+sin(x)′ = 
cos(2*x)′ = sin(2*x)*(2*x)′
Paaiškinimas:
cos(x) išvestinė yra sin(x)
Kompozicijos g(f(x)) išvestinė yra g(y)*f(x) f(x) = (2*x)′
- 
 1
/ 2
* sin( 2* x)* ( 2* x)′+ sin(x)′ = -1/2*sin(2*x)*(2*x)##6@@′#@6@#+sin(x)′ = 
(2*x)′ = 2
Paaiškinimas:
x išvestinė yra 1
- 
 1
/ 2
* sin( 2* x)* 2+ sin(x)′ = -##7@@1/2*sin(2*x)*2#@7@#+sin(x)′ = 
1/2*sin(2*x)*2 = sin(2*x)
-sin( 2* x)+ sin(x)′ = -sin(2*x)+sin(x)##8@@′#@8@# = 
sin(x)′ = cos(x)
Paaiškinimas:
sin(x) išvestinė yra cos(x)
-sin( 2* x)+cos(x) = -##9@@sin(2*x)#@9@#+cos(x) = 
sin(2*x) = (2*sin(x)*cos(x))
Paaiškinimas:
Sinuso argumento žeminimo formulė sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a)
-( 2* sin(x)* cos(x))+cos(x) = -##10@@(#@10@#2*sin(x)*cos(x)##11@@)#@11@#+cos(x) = 
-(2*sin(x)*cos(x)) = -2*sin(x)*cos(x)
- 2* sin(x)* cos(x)+cos(x) = -##12@@2*sin(x)*cos(x)#@12@#+##13@@cos(x)#@13@# = 
-2*sin(x)*cos(x)+cos(x) = -cos(x)*(2*sin(x)-1)
Paaiškinimas:
cos(x) iškeltas prieš skliaustus
- cos(x)* ( 2* sin(x)-1)##14@@-cos(x)*(2*sin(x)-1)#@14@#
##1@@(#@1@#1/2*cos(2*x)+sin(x)##2@@)#@2@#′  = 
1/2*cos(2*x)##5@@′#@5@#+sin(x)′  = 
-1/2*sin(2*x)*(2*x)##6@@′#@6@#+sin(x)′  = 
-##7@@1/2*sin(2*x)*2#@7@#+sin(x)′  = 
-sin(2*x)+sin(x)##8@@′#@8@#  = 
-##9@@sin(2*x)#@9@#+cos(x)  = 
-##10@@(#@10@#2*sin(x)*cos(x)##11@@)#@11@#+cos(x)  = 
##14@@-cos(x)*(2*sin(x)-1)#@14@#

Norint rasti ekstremumus (didžiausias/mažiausias reikšmes), išvestinę -cos(x)*(2*sin(x)-1) reikia prilyginti nuliui.

Gauname cos(x) = 0 (1)

ir 2*sin(x)-1 = 0 (2)

Iš (1) lygties gauname x = π/2

Iš (2) lygties gauname sin(x) = 1/2,

x = π/6

Apskaičiuojame funkcijos f(x) reikšmes rastuose ektremumo taškuose x = π/2 ir x = π/6 bei pradiniame intervalo taške x = 0.

Kai x = 0:

 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x)  = 
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x) = 1/2*cos(2*##1@@x#@1@#)+sin(##2@@x#@2@#) = 
Paaiškinimas:
Keitimas x = 0.
 
 1
/ 2
* cos( 2* 0)+sin(0) = 1/2*cos(2##5@@*#@5@###3@@0#@3@#)+sin(##4@@0#@4@#) = 
2*0 = 0
 
 1
/ 2
* cos(0)+sin(0) = 1/2*cos(0)+##7@@sin(0)#@7@# = 
sin(0) = 0
 
 1
/ 2
* cos(0)+0 = 1/2*cos(0)##8@@+#@8@#0 = 
 
 1
/ 2
* cos(0) = 1/2*##10@@cos(0)#@10@# = 
cos(0) = 1
 
 1
/ 2
* 1 = 1/2##11@@*#@11@#1 = 
1/2*1 = 1/2
 
 1
/ 2
1/2
1/2*cos(2##5@@*#@5@###3@@0#@3@#)+sin(##4@@0#@4@#)  = 
1/2*##10@@cos(0)#@10@#  = 
1/2##11@@*#@11@#1  = 
1/2

Kai x = π/2

 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x)  = 
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x) = 1/2*cos(2*##1@@x#@1@#)+sin(##2@@x#@2@#) = 
Paaiškinimas:
Keitimas x = π/2.
 
 1
/ 2
* cos( 
 2* π
/ 2
)+sin( 
 π
/ 2
) = 1/2*cos(##13@@2*π/2#@13@#)+sin(π/2) = 
2*π/2 = π
 
 1
/ 2
* cos(π)+sin( 
 π
/ 2
) = 1/2*##14@@cos(π)#@14@#+sin(π/2) = 
cos(π) = -1
- 
 1
/ 2
* 1+sin( 
 π
/ 2
) = -1/2##15@@*#@15@#1+sin(π/2) = 
1/2*1 = 1/2
- 
 1
/ 2
+sin( 
 π
/ 2
) = -1/2+##17@@sin(π/2)#@17@# = 
sin(π/2) = 1
- 
 1
/ 2
+1 = -1/2##18@@+#@18@#1 = 
-1/2+1 = 1/2
 
 1
/ 2
1/2
1/2*cos(##13@@2*π/2#@13@#)+sin(π/2)  = 
1/2*##14@@cos(π)#@14@#+sin(π/2)  = 
-1/2+##17@@sin(π/2)#@17@#  = 
-1/2##18@@+#@18@#1  = 
1/2

Kai x =  π/6

 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x)  = 
 
 1
/ 2
* cos( 2* x)+sin(x) = 1/2*cos(2*##1@@x#@1@#)+sin(##2@@x#@2@#) = 
Paaiškinimas:
Keitimas x = π/6.
 
 1
/ 2
* cos( 
 2* π
/ 6
)+sin( 
 π
/ 6
) = 1/2*cos(##3@@2*π/6#@3@#)+sin(π/6) = 
2*π/6 = π/3
 
 1
/ 2
* cos( 
 π
/ 3
)+sin( 
 π
/ 6
) = 1/2*##4@@cos(π/3)#@4@#+sin(π/6) = 
cos(π/3) = 1/2
 
 1
/ 2
* 
 1
/ 2
+sin( 
 π
/ 6
) = 1/2##5@@*#@5@#1/2+sin(π/6) = 
1/2*1/2 = 1/4
 
 1
/ 4
+sin( 
 π
/ 6
) = 1/4+##7@@sin(π/6)#@7@# = 
sin(π/6) = 1/2
 
 1
/ 4
+ 
 1
/ 2
 = 1/4##8@@+#@8@#1/2 = 
1/4+1/2 = 3/4
 
 3
/ 4
3/4
1/2*cos(##3@@2*π/6#@3@#)+sin(π/6)  = 
1/2*##4@@cos(π/3)#@4@#+sin(π/6)  = 
1/2##5@@*#@5@#1/2+sin(π/6)  = 
1/4+##7@@sin(π/6)#@7@#  = 
1/4##8@@+#@8@#1/2  = 
3/4

Pati didžiausia reikšmė 3/4

Atsakymas: 3/4

27 uždavinys29 uždavinys
Visos teisės saugomos ©