26 uždavinys

25 uždavinys27 uždavinys

Paveiksle pavaizduoti funkcijų f1(x) =  ir f2(x) = grafikai intervale x >= 0.

1. Duoti  grafikai  kertasi.  Įrodykite,  kad  susikirtimo  taško  A  (žr.  pav.) koordinatės yra (1; 2).

Sprendimas.

Apskaičiuojam abiejų funkcijų reikšmes taške x = 1:

f1(1) =  = .

f2(1) = = =  .

Abiejų funkcijų reikšmės taške x = 1 yra 2. Taigi grafikai kertasi taške (1; 2).

2. Apskaičiuokite plotą figūros, kuri yra apribota paveiksle pavaizduotais grafikais

Sprendimas.

Norint rasti plotą, apribotą dviejų funkcijų grafikais, reikia apskaičiuoti aukštesnės ir žemesnės funkcijos integralų skirtumą tame intervale (0; 1). 

(0;1;saknis(3,x)+1)-(0;1; x^3+1)  = 
(0;1;saknis(3,x)+1)-(0;1; x^3+1) =  = 
=
Paaiškinimas:
Šaknies integralas, kur n = 3, m = 1
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 1
|(0;1; 
 3
/ 4
* saknis(3, x^4)
+x
)
-(0;1; x^3+1)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
Laipsnio integralas, kur n = 3
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 1
|(0;1; 
 3
/ 4
* saknis(3, x^4)
+x
)
-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
= , čia F(x) = 3/4*saknis(3,x^4)+x a = 0, b = 1
( 
 3
/ 4
* saknis(3, 1^4)
+1
)
-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)
+0
)
-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
=
( 
 3
/ 4
* 1
+1
)
-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)
+0
)
-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
=
( 
 3
/ 4
+1
)
-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)
+0
)
-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
=
 
 3
/ 4
+1-( 
 3
/ 4
* saknis(3, 0^4)
+0
)
-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
= 0
 
 3
/ 4
+1-( 
 3
/ 4
* 0
+0
)
-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
= 0
 
 3
/ 4
+1-(0+0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
 
 3
/ 4
+1-(0)-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
= 0
 
 3
/ 4
+1-0-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
 
 3
/ 4
+1-|(0;1; 
 1
/ 4
* x^4
+x
)
 =  = 
=
Paaiškinimas:
= , čia F(x) = 1/4*x^4+x a = 0, b = 1
 
 3
/ 4
+1-(( 
 1
/ 4
* 1^4
+1
)
-( 
 1
/ 4
* 0^4
+0
)
)
 =  = 
=
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
* 1^4
+1
)
+( 
 1
/ 4
* 0^4
+0
)
 =  = 
=
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1
)
+( 
 1
/ 4
* 0^4
+0
)
 =  = 
= 0
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1
)
+(0+0)
 =  = 
=
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1
)
+0+0
 =  = 
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1
)
+0
 =  = 
 
 3
/ 4
+1-( 
 1
/ 4
+1
)
 =  = 
=
 
 3
/ 4
+1- 
 1
/ 4
-1
 =  = 
 
 3
/ 4
- 
 1
/ 4
+1-1
 =  = 
= 0
 
 3
/ 4
- 
 1
/ 4
+0
 =  = 
 
 3
/ 4
- 
 1
/ 4
 =  = 
=
 
 1
/ 2
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 

Atsakymas: 

3. Per f2(x) = grafiko  tašką  A  nubrėžta  liestinė. Raskite  kampo,  kurį  liestinė  sudaro  su teigiamąja ašies Ox kryptimi, tangentą

Sprendimas.

Norint rasti liestinės tangentą, reikia rasti  f2(x) išvestinę taške x = 1

 (saknis(3,x)+1)  = 
 (saknis(3,x)+1) =  = 
=
Paaiškinimas:
n - o laipsnio šaknies išvestinė, čia n = 3
Konstantos išvestinė yra 0
 
 1
/ 3/ saknis(3, x^2)
 =  = 
Paaiškinimas:
Keitimas = .
 
 1
/ 3/ saknis(3, 1^2)
 =  = 
=
 
 1
/ 3/ 1
 =  = 
=
 
 1
/ 3
 = 
 = 
 = 

Atsakymas: 

25 uždavinys27 uždavinys